培玉 · 一试

2022 年北京预赛

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第 1 题

若方程

lo g_{2} (k (x - \frac{1}{2})) = 2 lo g_{2} (x + \frac{1}{2})

仅有一个实根，则满足条件的 $k$ 的最大值等于。

第 2 题

设 $△ A BC$ 的三个内角分别为 $A, B, C$ ，假设

(sin A cos B + sin B cos C + sin C cos A)^{2}

的最大值为 $α$ 。将 $α$ 写成最简分数后，其分子分母之和为。

第 3 题

已知函数 $f : R \to R$ ，使任取实数 $x, y, z$ 都有

f (x y) + f (x z) - 2 f (x) f (yz) \geq \frac{1}{2},

则

[1 \cdot f (1)] + [2 \cdot f (2)] + \dots + [2022 \cdot f (2022)] = .

（其中 $[x]$ 表示不大于 $x$ 的最大整数。）

第 4 题

有组整数 $(m, n)$ 满足

m^{2} - 11 mn - 8 n^{2} = 88.

第 5 题

已知 $x, y, z$ 是 $3$ 个大于等于 $1$ 的实数，那么

(\frac{x ^{2} ( y - 1 ) ^{2} + y ^{2}}{x y} + \frac{y ^{2} ( z - 1 ) ^{2} + z ^{2}}{yz} + \frac{z ^{2} ( x - 1 ) ^{2} + x ^{2}}{x z})^{2}

的最小值写成最简分数后的分子分母之和是。

第 6 题

在 $△ A BC$ 中， $∠ A > 9 0^{\circ}$ ， $∠ B = 2 0^{\circ}$ ，作 $A D ⊥ A B$ 交 $BC$ 于点 $D$ 。已知 $A B = 1, C D = 4$ ，设 $S$ 为 $△ A BC$ 的面积，则 $S^{2}$ 写成最简分数之后，分子分母之和为。

第 7 题

满足

x^{4} - x^{3} - 25 x^{2} - 7 x^{2} + 5 x + 3 x + 75 + 17 = 0

的所有正实数 $x$ 的整数部分之和是。

第 8 题

方程

\frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{4}{3}

有组整数解。

第 9 题

设递推数列 ${x_{n}}$ 满足

x_{n + 1} = x_{n}^{2} - 4 x_{n}, n = 1, 2, \dots .

如果对任意的首项 $x_{1} \in R$ 且 $x_{1} \neq = 0$ ，数列中一定存在某项 $x_{k} \geq b$ ，则不超过 $(2 b - 3)^{2}$ 的最大整数是。

第 10 题

对实数 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{19}$ ，不超过

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{19}) = k_{1} = 0 \sum 1 k_{2} = 0 \sum 1 \dots k_{19} = 0 \sum 1 ∣ k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2} + \dots + k_{19} x_{19} - 1 ∣

的最小值的最大整数为。

第 11 题

有个不超过 $2020$ 的正整数 $k$ ，满足对任意的正整数 $n$ ，均有

3^{(k - 1) n + 1} ∤ (\frac{( kn )!}{n !})^{2} .