2026 年湖北预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

已知 $x, y \in R$ 且 $y > 0$ ，集合

A = {x^{2} + x + 1, - x, - x - 1}, B = {- y, - \frac{y}{2}, \frac{3 y}{2}} .

若 $A = B$ ，则 $x^{2} + y^{2} =$ 。

已知正整数 $a, b, c, d$ 满足

lo g_{a} b = \frac{3}{2}, lo g_{c} d = \frac{5}{4}, c - a = 65.

则 $d - b =$ 。

随机投掷 $3$ 枚质地均匀的正方体骰子（ $6$ 个面的点数分别为 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ ），则 $3$ 枚骰子正面朝上的点数之和为完全平方数的概率为。

在 $△ A BC$ 中， $∠ C A B = 12 0^{\circ}$ ，作 $A D ⊥ A B$ 交 $BC$ 于点 $D$ 。若 $A B = C D = 1$ ，则 $B D =$ 。

设

a_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}, p_{n} \in {1, i},

其中 $i$ 为虚数单位， $n \in N^{*}$ 。设所有能表示为

p_{1} a_{1} + p_{2} a_{2} + \dots + p_{2026} a_{2026}

形式的数之和为复数 $T$ ，则 $∣ T ∣ =$ 。

在正三棱锥 $P - A BC$ 中， $D$ 为 $PB$ 的中点， $E$ 为 $PC$ 的靠近 $P$ 点的三等分点，且 $A D ⊥ D E$ 。若 $P A = 2$ ，则三棱锥 $P - A BC$ 的体积为。

在 $△ Q A C$ 中， $B, D$ 分别在 $QC, Q A$ 上， $A B$ 和 $C D$ 交于点 $P$ ，直线 $PQ$ 分别与 $D B, A C$ 交于点 $M, N$ 。若 $QM = 2, MN = 3$ ，则 $MP =$ 。

一个各位数字互不相同的四位数 $M$ 是完全平方数，它的各位数字之和 $N$ 和 $\frac{M}{N}$ 也都是完全平方数。这样的四位数 $M$ 共有个。

设 $A, B$ 是椭圆

Γ : \frac{x ^{2}}{4} + y^{2} = 1

上不等于顶点的两个不同动点， $O$ 为坐标原点，直线 $O A, OB$ 的斜率分别记为 $k_{1}, k_{2}$ 。如果椭圆 $Γ$ 上存在点 $C$ 满足

OC = cos θ O A + sin θ OB, θ \in (0, \frac{π}{2}),

求证：

已知 $a, b$ 都是正整数，函数

f (x) = a x^{2} + b x + 1

的图象与 $x$ 轴有两个不同的交点 $A (m, 0), B (n, 0)$ 。如果

∣ m ∣ \leq 1, ∣ n ∣ \leq 1,

求 $a + b$ 的最小值。

设 $a, b, c, d$ 为实数。如果不等式

a cos x + b sin x + c cos 2 x + d sin 2 x \geq - 1

对任意 $x \in R$ 恒成立，求证：

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} \leq 3.