并排比较

2025 年广东预赛

P006235 · 递推数列

已知数列满足

定义

1. (1)

   求 $b_{2025}$ 的值；

2. (2)

   是否存在实数 $r$，使得

   $$\sum _{k=2}^n\frac{1}{c_k}<r$$

   对任意 $n\ge 2$ 恒成立？若存在，求出 $r$ 的取值范围；若不存在，请说明理由。

2021 年贵州预赛

P006987 · 数论

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a_2=1$， $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$，$n\in {\mathbb{N}}_{+}$。则（ ）（本题为多选题）

1. A.

   只存在有限个正整数 $m$，使得 $a_m$ 与 $a_{m+1}$ 互素；

2. B.

   至少存在一个正整数 $m$，使得 $a_{m+2}{a}_m=a_{m+1}^2$；

3. C.

   存在无穷多的正整数 $p,q$，使得 $a_p{a}_q-1$ 为完全平方数；

4. D.

   存在无穷多的正整数对 $(m,n)$，使得 $a_m\mid a_n^2+1$，且 $a_n\mid a_m^2+1$。