2012 年山西预赛

设 $a_1,a_2,a_3,\dots$ 是一个等差数列，其中 $a_1>0$，$S_n$ 表示其前 $n$ 项和。若 $S_3=S_{11}$，且在 $S_1,S_2,S_3,\dots$ 中最大数为 $S_k$，则 $k=$。

任作椭圆 $\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{3^2}=1$ 的一条切线，与椭圆的两条对称轴分别交于点 $A,B$，则线段 $AB$ 长度的最小值是。

矩形 $ABCD$ 中，$AB=2,BC=3$，$E,F$ 分别是 $AB,CD$ 的中点。以 $EF$ 为旋转轴，将 $△FAB$ 空间旋转 $90^{\circ }$ 至 $△F{A}^{\prime }{B}^{\prime }$，则四面体 $A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ 的体积为。

$\sin 7.5^{\circ }+\cos 7.5^{\circ }=$。

用七个数码 $1,2,3,4,5,6,7$ 适当排成一个 7 位数，使得它是 11 的倍数，

则能排出的数的个数为。

若 $7n+1,8n+1$ 都能表示为成等比数列的三个互异正整数的和，则正整数 $n$ 的最小值是。

设 $x,y\in [0,1]$，函数 $f(x,y)=x\sqrt{1-y}+y\sqrt{1-x}$ 的最大值是。

集合 $A$ 是集合 $M=\{1,2,3,\dots ,2012\}$ 的 20 元子集，且 $A$ 中的任两个元素之差为 12 的倍数，则这种子集 $A$ 的个数是。

抛物线的顶点为 $O$，焦点为 $F$，当动点 $P$ 在抛物线上移动时，试求距离比 $\left|\frac{PO}{PF}\right|$ 的最大值。

$△ABC$ 内接于 $\odot O$，$I$ 是三角形的内心，直线 $AI,BI$ 分别交 $\odot O$ 于 $D,E$。过点 $I$ 作直线 ${\ell }_I\Vert AB$，又过点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线 ${\ell }_C$，若 ${\ell }_C$ 与 ${\ell }_I$ 相交于 $F$，证明：$D,E,F$ 三点共线。