2019 年中科大少年班初试

平面区域$|x+2y|+|3x+4y|\le 5$的面积为$\underline{}$。

方程$\sin 2x+\cos 3x=0$（$x\in [0,2\pi ]$）的所有根之和为$\underline{}$。

设点$A(1,0),B(0,1),C\left(x,\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$，其中$\frac{1}{4}\le x\le 4$。则$△ABC$的面积最小值为$\underline{}$。

设$x=3+\cos (t-\pi /3),y=4+\cos (t+\pi /6)$，其中$t$为参数，则$x^2+y^2$的最大值为$\underline{}$。

在平面直角坐标系$xOy$中，$P_0(1,0)$。把向量$\overrightarrow{O{P}_i}$绕$O$顺时针旋转定角$\theta$得$\overrightarrow{O{Q}_i}$，$Q_i$关于$y$轴的对称点记为$P_{i+1}$，$i=0,1,\dots ,2018$。则$P_{2019}$的坐标为$\underline{}$。

若$x_1=\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{x_n}{2(n+1)x_n+1}$（$n\ge 1$），则$\sum _{k=1}^{2019}{x}_k=\underline{}$。

已知复数$z$满足$\frac{z-1}{z+1}$是纯虚数，则$|z^2+z+3|$的最小值为$\underline{}$。

设四面体$ABCD$可由$△D_1{D}_2{D}_3$沿各边中点连线折起来围成，且

求四面体$ABCD$的体积。

设$n$是正整数。

1. (1)

   证明存在多项式$p_n(x)$，使得$\cos (n\theta )=p_n(\cos \theta )$。

2. (2)

   在实数范围内完全因式分解$p_n(x)$。