2024 年广西预赛

设函数 $f(x)=|{\log }_{2}x|$。若 $a<b$ 且 $f(a)=f(b)$，则 $a+2024b$ 的取值范围是。

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的焦点为 $F_1,F_2$，$M$ 为椭圆上一点，$\angle F_{1}M{F}_2=\frac{\pi }{3}$，$OM=\frac{\sqrt{15}}{3}b$。则椭圆的离心率为。

若正实数 $x,y$ 满足 $x-2\sqrt{y}=\sqrt{2x-y}$，则 $x$ 的最大值为。

方程 $3^x=x^{3^7}$ 的正整数解为。

设 $x_1,x_2,x_3,x_4$ 均是正整数，且

则 $x_1+x_2+x_3+x_4=\underline{}$。

正三棱锥 $P-ABC$ 中，$AP=3,AB=4$。设 $D$ 是直线 $BC$ 上一点，平面 $APD$ 与直线 $BC$ 的夹角为 $45^{\circ }$，则线段 $PD$ 的长度是。

已知四次多项式 $x^4-25x^3+a{x}^2+61x-2024$ 的四个根中有两个根的乘积是 $-253$，则实数 $a=\underline{}$。

设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=2001$，$x_{n+1}=x_n+y_n$，其中 $y_n$ 等于 $x_n$ 的个位数，则 $x_{2024}=\underline{}$。

如图，$AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE$，$\angle ADC=\angle DPE=\angle BEC=90^{\circ }$。求证：$P$ 为线段 $AB$ 的中点。

设 $A$ 为数集 $\{1,2,3,\dots ,2024\}$ 的 $n$ 元子集，且 $A$ 中的任意两个数既不互素又不存在整除关系。求 $n$ 的最大值。

用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。设数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1=1$，

求 $x_{2024}$ 的个位数。