2018 年山西预赛

集合 $M=\{1,2,\dots ,2018\}$ 中，末尾数字为 $8$ 的元素之和是。

将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后分段，使第一段有 $1$ 个数、第二段有 $3$ 个数、……、第 $n$ 段有 $2n-1$ 个数。那么，第 20 段中的第 18 个数是。

函数 $y=\frac{\sqrt{1-x^2}}{2+x}$ 的值域是。

若正整数 $n$ 使得 $\sqrt{3}$ 恒介于 $1+\frac{3}{n}$ 与 $1+\frac{3}{n+1}$ 之间，则 $n=$。

若双曲线 $L_1$ 的两个焦点分别是椭圆 $L_2:\frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{4^2}=1$ 的两个顶点，而双曲线 $L_1$ 的两条准线分别通过椭圆 $L_2$ 的两个焦点，则双曲线 $L_1$ 的方程是。

计算 $\cos \frac{2\pi }{7}\cos \frac{4\pi }{7}\cos \frac{6\pi }{7}$ 的值为。

四面体 $ABCD$ 中，有一条棱长为 $3$，其余五条棱长皆为 $2$，则其外接球的半径为。

在一张印有 4 月 29 日的生日贺卡上，某位小朋友在 4 与 29 之间添加了两个正整数 $x,y$，得到一个五位数 $\overline{4xy29}$，结果发现它恰好是自己的生日所对应的正整数 $T$ 的平方：$\overline{4xy29}=T^2$，则这位小朋友生日对应的数 $T=$。

（16 分）求函数 $y=\frac{x-x^3}{(1+x^2{)}^2}$ 的最大值和最小值。

（20 分）如图，圆内接四边形 $ABCD$ 中，取 $AD$ 的中点 $M$，作 $MN\perp BC$、$ME\perp AB$、$MF\perp CD$，$N,E,F$ 为垂足。证明：$MN$ 经过线段 $EF$ 的中点。