2024 年内蒙古预赛

集合 $M=\{1,2,3,5,6\}$ 的全部非空子集的元素和等于。

设 $a,b,c$ 是实数，满足 $a+b+c=1$，$a^2+b^2+c^2=1$，$a\ne 0$，则 $\frac{bc}{a^3}$ 的取值范围为。

已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱长为 $4$，底面边长为 $2$。过点 $A$ 的一个平面截此棱柱，与侧棱 $B{B}_1,C{C}_1$ 分别交于点 $M,N$。若 $△MNA$ 为直角三角形，则 $△MNA$ 面积的最大值为。

已知在 $△ABC$ 中 $BC=\sqrt{3}$，$A=\frac{\pi }{3}$，$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，则线段 $AD$ 的最大值为。

从 $1,2,\dots ,11$ 中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为。

设 $O$ 是原点，椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}=1$，直线 $l$ 过 $(1,0)$ 且与椭圆交于 $A,B$ 两点，则 $△ABO$ 面积的最大值为。

数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1=\frac{1}{10}$，且对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$a_{n+1}=a_n^2+a_n$，则 $\sum _{n=1}^{2024}\frac{1}{a_n+1}$ 的整数部分是。

已知关于 $x$ 的方程 $x^3-3x+4=0$ 的三个复数根分别为 $z_1,z_2,z_3$，则 $(z_1-z_2{)}^2(z_2-z_3{)}^2(z_3-z_1{)}^2$ 的值为。

已知双曲线 $C:\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$，直线 $l:y=kx+1$ 与双曲线 $C$ 的左、右支分别相交于 $A,B$ 两点。双曲线 $C$ 在 $A,B$ 两点处的切线相交于点 $P$，求 $△ABP$ 面积的最小值。

已知函数

（1）当 $a=0$ 时，讨论 $f(x)$ 在 $(-4,\frac{1}{2})$ 上的极值； （2）若 $x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点，求 $a$ 的取值范围。

设 $n$ 是一个给定的正整数，集合

求最大的正数 $c=c(n)$，使得对任意正整数 $d_1,d_2$，都存在集合 $S_n$ 的子集 $P$，满足集合 $P$ 至少有 $c{n}^2$ 个元素，且集合 $P$ 的任两个元素 $(i,j),(k,l)$ 均有