2021 年广西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

集合 $M = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ 的所有子集的元素的和等于。

已知 $x y + yz + z x = 1$ ，其中 $x, y, z$ 均为正数，则

3 x y + 1 + 3 yz + 1 + 3 z x + 1

的整数部分为。

某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门，则 $A, B, C$ 三位学生可能的选法有种。

设 $k$ 为方程

∣ x ∣^{1/4} + ∣ x ∣^{1/2} - cos x = 0

的实根的个数，则 $k =$ 。

设 $n$ 为正整数，函数

f_{n} (x) = \frac{n + x + \frac{1}{n + x}}{n + 1}, x \in (0, 1)

的值域为 $I_{n}$ 。记 $I = n = 1 ⋃ \infty I_{n}$ ，则 $I =$ 。

已知 $m$ 为非零向量， $n$ 为单位向量， $m \neq = n$ ， $m$ 与 $m - n$ 的夹角为 $6 0^{\circ}$ ， $∣ m ∣ \in (0, a]$ ，则 $a$ 的最小值为。

设

sin α + sin β = \frac{4}{5} 2, cos α + cos β = \frac{4}{5} 3,

则 $tan α + tan β =$ 。

设点 $P$ 在椭圆 $\frac{x ^{2}}{5} + y^{2} = 1$ 上， $F_{1}, F_{2}$ 是该椭圆的两个焦点。若 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为 $\frac{3}{3}$ ，则 $∠ F_{1} P F_{2} =$ 。

已知 $m, n$ 都是正整数，其中 $n$ 是奇数，求 $2^{m} + 1$ 与 $2^{n} - 1$ 的最大公约数。

设 $f (x)$ 在区间 $I$ 上有定义。对任意 $x_{1}, x_{2} \in I$ 、 $t \in [0, 1]$ ，不等式

f ((1 - t) x_{1} + t x_{2}) \leq (1 - t) f (x_{1}) + t f (x_{2})

总成立。设 $n \geq 2$ ，对 $1 \leq i \leq n$ ， $x_{i} \in I, p_{i} \geq 0$ ，且 $\sum_{i = 1}^{n} p_{i} = 1$ 。求证：

f (i = 1 \sum n p_{i} x_{i}) \leq i = 1 \sum n p_{i} f (x_{i}) .

本题整理中，不计分。

某校 $n$ 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论 $A, B, C$ 三个问题。已知每位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题，每两位同学只讨论一个问题。若至少有 $3$ 名同学互相之间讨论的是同一个问题，求 $n$ 的最小值，并给出证明。