2024 年四川预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

设函数 $f (x) = ln ∣ x ∣ + ∣ x ∣ - 2$ 的零点都在区间 $[a, b]$ （ $a, b \in Z$ ， $a < b$ ）内，则 $b - a$ 的最小值为。

已知 $a > b > 1$ ，若 $lo g_{a} b + lo g_{b} a = \frac{5}{2}$ ，则 $\frac{b}{a + 4}$ 的最大值为。

设 $a \in R$ ，若函数

f (x) = a x - \frac{a}{x} - 2 ln x

在其定义域内为单调递增函数，则实数 $a$ 的最小值为。

用 $f (X, Γ)$ 表示点 $X$ 与曲线 $Γ$ 上任意一点距离的最小值。已知

⊙ O : x^{2} + y^{2} = 1, ⊙ O_{1} : (x - 4)^{2} + y^{2} = 4.

设 $P$ 为 $⊙ O$ 上的动点，则 $f (P, ⊙ O_{1})$ 的最大值为。

设 $△ A BC$ 中， $A C = 2$ ， $∠ A BC = 2∠ B A C$ ，则 $△ A BC$ 面积的最大值为。

将边长为 $1$ 的立方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕着其中心旋转 $4 5^{\circ}$ ，得到一个十面体 $A BC D - EFG H$ （如图），则该十面体的体积为。

若

T = k = 1 \sum 100 2^{99 + k} \cdot 3^{101 - k},

则 $T$ 的末尾数字 $0$ 的个数为。

记 $I = {1, 4, 5, 6}$ ， $U = {1, 2, 3, \dots, 25}$ ，集合 $U$ 的子集 $A = {a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}}$ 满足

∣ a_{i} - a_{j} ∣ \in / I (1 \leq i < j \leq 5) .

则符合条件的集合 $A$ 的个数为。（用具体数字作答）

已知 $t$ 为正实数，若曲线 $y = t e^{x}$ 与椭圆

C : \frac{x ^{2}}{2} + y^{2} = 1

交于 $A, B$ 两个不同的点，求证：直线 $A B$ 的斜率 $k < \frac{2}{2}$ 。

设复数 $x, y, z$ 满足 $∣ x + 2 y + 3 z ∣ = 1$ ，求

∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2} + ∣ z ∣^{2} + ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} ∣

的最小值。

给定正整数 $n \geq 2$ ，数列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 称为“好数组”是指： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 均不为 $0$ ， $a_{1} = 1$ ，且对任意 $1 \leq k \leq n - 1$ ，均有

(a_{k + 1} + a_{k}) (a_{k + 1} - a_{k} - 1) = 0.

求“好数组” $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 的组数。