培玉 · 一试

2024 年新疆预赛

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第 1 题

在空间四边形 $A BC D$ 中， $A B = 2$ ， $BC = 3$ ， $C D = 5$ ， $D A = 8$ ，则 $A C \cdot B D =$ 。

第 2 题

已知

f (x) = 2 sin \frac{π x}{3}, g (x) = \frac{1}{x - 6},

则 $f (x) = g (x)$ 在 $[- 8, 20]$ 上所有根的和为。

第 3 题

计算

\frac{sin 1 2 ^{\circ} + cos 6 ^{\circ}}{sin 6 ^{\circ} + 2 cos ^{2} 6 ^{\circ}} = .

第 4 题

在棱长为 $2$ 的正方体 $A BC D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点， $P$ 为底面 $A BC D$ 内一点，则满足 $EP = 22$ 的点 $P$ 的轨迹长度为。

第 5 题

函数

f (x) = ∣2 x + 1∣ + ∣2 x + 3∣ + e^{- x}

的最小值为。

第 6 题

设数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = \frac{1}{5}, 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + a_{n}^{2} .

记

T_{2024} = \frac{1}{a _{1} + 2} + \frac{1}{a _{2} + 2} + \dots + \frac{1}{a _{2024} + 2} .

若 $T_{2024}$ 的值在区间 $(k, k + 1)$ 内，则整数 $k$ 的值为。

第 7 题

在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 对应的点分别为 $Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}$ 。若

∣ z_{1} ∣ = 3, ∣ z_{2} ∣ = 23, O Z_{1} \cdot O Z_{2} = 0, ∣ z_{1} + z_{2} - z_{3} ∣ = 2,

则 $∣ z_{3} ∣$ 的取值范围是。

第 8 题

本题整理中，不计分。

第 9 题

设 $x, y$ 均为非零实数，且满足

x sin \frac{2 π}{5} + y cos \frac{2 π}{5} = tan \frac{11 π}{15} (x cos \frac{2 π}{5} - y sin \frac{2 π}{5}) .

(1)
求 $\frac{y}{x}$ 的值；
(2)
在 $△ A BC$ 中，若 $tan A = \frac{y}{x}$ ，求 $\frac{1}{2} cos 3 B - \frac{3}{2} cos C$ 的最小值。

第 10 题

设 $F_{1}, F_{2}$ 为双曲线

C : \frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)

的左、右焦点，动点 $P (x_{0}, y_{0})$ （ $y_{0} \geq 2$ ）在双曲线 $C$ 的右支上。设 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $M (m, 0)$ 和点 $N$ ，且当 $PN ⊥ F_{1} N$ 时， $ON = 2$ 。

(1)
求 $m$ 的取值范围；
(2)
设过点 $F_{1}, N$ 的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $D, E$ 两点，求 $△ F_{2} D E$ 面积的取值范围。

第 11 题

本题整理中，不计分。