2022 年广西预赛

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若复数 $z$ 满足

z \overline{z} - i \overline{z} = 1 + i,

则 $z$ 的虚部为。

已知

(n + 1)^{α + 1} - n^{α + 1} < n^{α} (α + 1) < n^{α + 1} - (n - 1)^{α + 1}, - 1 < α < 0.

设

x = k = 4 \sum 1 0^{6} \frac{1}{3 k},

则 $x$ 的整数部分为。

设 $A, B$ 是集合 ${1, 2, \dots, 20}$ 的两个子集， $A \cap B = \emptyset$ ，且 $n \in A$ 时， $2 n + 2 \in B$ 。记 $M (A)$ 为 $A$ 的元素之和，则 $M (A)$ 的最大值是。

设 $n$ 为正整数，若 $n^{m} \geq m^{n}$ 对所有正整数 $m$ 都成立，则 $n =$ 。

设 $a_{1} = \frac{π}{6}$ ， $a_{n} \in (0, \frac{π}{2})$ ，且

tan a_{n + 1} \cdot cos a_{n} = 1, n \geq 1.

若

k = 1 \prod m sin a_{k} = \frac{1}{100},

则 $m =$ 。

若长方体的长、宽、高都是自然数，且所有棱长之和等于它的体积，则称此长方体为“完美长方体”。“完美长方体”的体积的最大值为。

设 $y = f (x)$ 是严格单调递增的函数，其反函数为 $y = g (x)$ 。设 $x_{1}, x_{2}$ 分别是方程

f (x) + x = 2, g (x) + x = 2

的解，则 $x_{1} + x_{2} =$ 。

本题整理中，不计分。

已知 $x, y, z$ 都是正数，且

(x + y - z) (y + z - x) (z + x - y) > 0.

求证：

x (y + z)^{2} + y (z + x)^{2} + z (x + y)^{2} - 9 (x^{3} + y^{3} + z^{3}) \leq 9 x yz .

设 $a$ 为正整数， $3 ∣ a$ ， $f (1) = a$ 。令

f (n + 1) = {f (n), f (n) + 3, f (n) \in Z, f (n) \in / Z, n \geq 1.

求证：存在 $M$ ，使得 $f (n) \leq M$ 对所有 $n \geq 1$ 成立。

本题整理中，不计分。

工兵用信号探测器，探测边长为 $2$ 千米的等边三角形区域内的地雷。已知探测器的有效作业距离为 $\frac{3}{2}$ 千米。从三角形的一个顶点出发，工兵至少需要行走多少距离才能完成探测任务？（要求说明理由）