培玉 · 一试

2023 年内蒙古预赛

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按原题序浏览；已整理 9/11 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

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练习时长（分钟）

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第 1 题

若 $a, b > 0$ ，且 $a + 2 b = 6$ ，则 $ln a + 2 ln b$ 的最大值为。

第 2 题

设 $x, y \in R$ ，且满足

{(x + 1)^{3/5} + 2023 (x + 1) = - 2023, (y + 1)^{3/5} + 2023 (y + 1) = 2023,

则 $x + y =$ 。

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = a_{2} = 1, a_{3} = 2$ ，且对任意正整数 $n$ ，都有

a_{n} a_{n + 1} a_{n + 2} a_{n + 3} = a_{n} + a_{n + 1} + a_{n + 2} + a_{n + 3} .

则 $\sum_{i = 1}^{2023} a_{i} =$ 。

第 5 题

计算

tan \frac{π}{9} \cdot tan \frac{2 π}{9} \cdot tan \frac{4 π}{9} = .

第 6 题

设 $A, B$ 为函数 $f (x) = 3 - x^{2}$ 的图象上在 $y$ 轴两侧的点，则 $f (x)$ 在 $A, B$ 的切线与 $x$ 轴围成的区域面积的最小值为。

第 7 题

设实数 $x, y$ 满足

lo g_{4} (x + 2 y) + lo g_{4} (x - 2 y) = 1,

则 $∣ x ∣ - ∣ y ∣$ 的最小值为。

第 8 题

将 $8$ 个半径为 $2$ 的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切。则圆柱的高为。

第 9 题

设 $A, B$ 为椭圆

\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

上不同的两个点，直线 $A B$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于 $P (m, 0), Q (0, n)$ （ $m \neq = \pm a, m \neq = 0, n \neq = \pm b, n \neq = 0$ ）。若 $M$ 是直线 $y = 3/ n$ 上任意一点，且直线 $M A, MQ, MB$ 的斜率存在且都不等于 $0$ 。试问：直线 $M A, MQ, MB$ 斜率的倒数能否排成等差数列？若能，请给出证明；若不能，请说明理由。

第 10 题

本题整理中，不计分。

第 11 题

求所有满足 $x y + uv$ 为有理数，且

\frac{x}{9} - \frac{y}{4} = \frac{u}{3} - \frac{v}{12} = uv - x y

的正整数组 $(x, y, u, v)$ 。