培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
直角三角形的“角”我们早就熟了：一个直角，两个锐角互余。它的三条“边”之间有没有固定的关系？在三条边上各画一个正方形，答案就藏在面积里；把图剪开、挪一挪，还能证明它对每个直角三角形都成立。
本节导读 先修：直角三角形、完全平方公式、二次根式 · 本节路线
要用到：直角三角形与 Rt△ 的记法、两锐角互余（回看 13.3）；HL（回看 14.2）；完全平方公式（回看 16.3）；算术平方根、数轴上的 \(\sqrt2\)（回看 8.3）；二次根式化简（回看 19.2）。
- 在方格纸上数面积：直角边上的两个正方形，和斜边上的正方形有什么关系？
- 赵爽弦图：切两刀、挪两块，证明 \(a^2+b^2=c^2\)。
- 换一种算法再推一次：弦图的面积 + 完全平方公式。
- 已知两边求第三边：先认出斜边。
- 梯子、折断的旗杆：设未知数列方程；顺手证明 HL。
- 在数轴上画出 \(\sqrt n\)；练习与中考真题。
方格纸上每个小格边长为 \(1\)。下面画了一个直角三角形，三条边上各贴着一个正方形。点按钮换几种直角边，比一比正方形的面积：
两条直角边分别是 \(2\) 和 \(3\) 时，斜边上那个正方形的面积是多少？
B。三组都是“两个小正方形面积之和 = 斜边上的正方形面积”，所以是 \(4+9=13\)。直接算也行：虚线外框边长 \(2+3=5\)，面积 \(25\)，减去四个直角三角形 \(4\times\tfrac12\times2\times3=12\)，剩 \(13\)。选 C 是把外框当成了它；选 D 算的是四个三角形；选 A 是 \(2+3\) 忘了平方。
几个例子都对，就能说“每个直角三角形都这样”吗？还不能，例子是验证不完的。这一节要证明它，再用它算边长。
1. 先认识几个词：直角边和斜边
前置知识：有一个角是直角的三角形叫直角三角形，\(\triangle ABC\) 中 \(\angle C=90^\circ\) 时记作 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\)（回看 13.3）。夹着直角的两条边叫直角边，直角对着的边叫斜边。斜边由直角定，不由字母定。点下面三档，看直角换到别的顶点时斜边是谁：
直觉微图解 ①先找直角，它对着的边就是斜边
核心概念 ②斜边 = 直角对着的边，也是最长的边
直角是三角形里最大的角，大角对大边，所以斜边最长。写式子之前先说清“在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle B=90^\circ\)”，斜边 \(AC\) 就定了。
核心概念 ③勾、股、弦
我国古代把直角三角形较短的直角边叫“勾”，较长的直角边叫“股”，斜边叫“弦”。《周髀算经》里就有“勾三股四弦五”，这个定理因此叫勾股定理，西方叫毕达哥拉斯定理。
2. 核心点：勾股定理，以及赵爽的证法
入门题里的规律写成式子：直角边长 \(a\)、\(b\)，斜边长 \(c\)，那么：
勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和，等于斜边长的平方。前提是直角三角形，\(c\) 必须是斜边。
三国时期的赵爽用“出入相补”证明了它：把图形切开、挪动位置再拼起来，面积不变。点下面三档：
直觉微图解 ②两个正方形，切两刀，挪两块，拼成斜边上的正方形
为什么拼出来的是正方形？四条边都是 \(c\)；每个角由一个直角三角形的两个锐角拼成，两锐角互余，合起来正好 \(90^\circ\)。这个拼法对任何 \(a\)、\(b\) 都行，所以它是证明，不是举例。“动手”① 可以亲手转这两块。
赵爽还画了一幅“弦图”：四个同样的直角三角形围成边长 \(c\) 的大正方形，中间留一个小正方形。同一块面积换一种算法，又能推出一次：
直觉微图解 ③弦图：大正方形 = 四个三角形 + 中间的小正方形
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：从弦图里读数）
一幅弦图中，大正方形面积是 \(29\)，中间小正方形面积是 \(9\)。求每个直角三角形的两条直角边长。
① 读懂题意：设直角边 \(a\lt b\)。“大正方形面积 \(29\)”“小正方形面积 \(9\)”各能写成关于 \(a\)、\(b\) 的什么式子？
提示 1：两个面积各说了什么
大正方形边长是斜边：\(a^2+b^2=29\)。小正方形边长是 \(b-a\)：\((b-a)^2=9\)，所以 \(b-a=3\)。
提示 2：四个三角形的面积
\(29-9=20\) 是四个三角形的面积，即 \(2ab=20\)。再想想 \((a+b)^2\) 怎么用 \(a^2+b^2\) 和 \(2ab\) 表示。
看完整示范
④ 回头看：弦图把三个量连在一起：斜边的平方、两直角边的积、两直角边的差。知道其中两个，就能求第三个。
自己试试：用四个直角边为 \(1\) 和 \(4\) 的直角三角形拼成弦图。中间小正方形和大正方形的面积分别是多少？
A。小正方形边长 \(4-1=3\)，面积 \(9\)；大正方形面积 \(c^2=1^2+4^2=17\)（验算：\(4\times\tfrac12\times1\times4+9=17\) ✓）。B 把 \((1+4)^2\) 当成了大正方形；C 把边长当面积；D 用了 \(4^2\)。
3. 核心点：已知两边，求第三边——先认斜边
直角三角形三条边，知道任意两条就能求第三条。关键是分清手里的是不是斜边：
长度是正数，开平方只取算术平方根，结果化成最简二次根式。
例 2（示范）
在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle B=90^\circ\)。(1) \(AB=2\)，\(BC=4\)，求 \(AC\)；(2) \(AC=7\)，\(AB=3\)，求 \(BC\)。
① 读懂题意：\(\angle B=90^\circ\)，斜边是哪一条？两问里，已知的边是不是斜边？
提示：先写出等式
斜边是 \(\angle B\) 对着的 \(AC\)，所以 \(AB^2+BC^2=AC^2\)。(1) 求斜边，(2) 已知斜边求直角边。
基础示范（可收起）
④ 回头看：第 (2) 问若把 \(AC\) 当直角边，会算成 \(\sqrt{49+9}=\sqrt{58}\)，比斜边还长，检查一下就能发现。
自己试试：在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle A=90^\circ\)，\(BC=6\)，\(AB=2\)。\(AC\) 等于多少？
A。\(\angle A\) 对着 \(BC\)，\(BC\) 是斜边：\(AC^2=6^2-2^2=32\)，\(AC=4\sqrt2\)。B 是把 \(BC\) 当直角边算了 \(\sqrt{36+4}\)；C 是 \(6-2\)，没有平方；D 是 \(6+2\)。
4. 核心点：实际问题——找到直角三角形，必要时列方程
墙和地面垂直，梯子、墙、地面就围成直角三角形，梯子是斜边。例如长 \(3.4\) m 的梯子底端离墙 \(1.6\) m，顶端高 \(\sqrt{3.4^2-1.6^2}=\sqrt{9}=3\) m。若有一条边不知道，又能用别的边表示它，就设未知数，用勾股定理列方程：
例 3（示范：折断的旗杆）
一根 \(8\) m 高的旗杆竖直立在平地上，被风吹得在某处折断，杆顶落在离杆底 \(4\) m 的地面上（折断处没有完全断开）。折断处离地面多高？
原杆分成两段，总长8 m；倒下的一段仍连着折断处，是直角三角形的斜边。先用同一个未知数表示两段，再选互相垂直的两条边列勾股关系。
① 读懂题意：立着的一段、倒下的一段、地面上的 \(4\) m，围成什么三角形？倒下那段有多长？
提示 1：设未知数
设折断处离地 \(x\) m，立着的一段长 \(x\)，倒下的一段长 \(8-x\)，它是斜边。
看完整示范
④ 回头看：这类题列出的方程看着带 \(x^2\)，展开后会抵消，变成一元一次方程。
自己试试：长 \(8.5\) m 的消防梯斜靠在竖直的墙上，底端离墙 \(4\) m。底端再向外移 \(1.1\) m，顶端下滑多少？
B。开始顶端高 \(\sqrt{8.5^2-4^2}=\sqrt{56.25}=7.5\) m；底端离墙 \(5.1\) m 时，顶端高 \(\sqrt{72.25-26.01}=\sqrt{46.24}=6.8\) m，下滑 \(7.5-6.8=0.7\) m。A 以为“底端移多少，顶端就降多少”；C、D 是移动后、移动前的高度，不是下滑的距离。
顺手证明一件八上的事：HL
八上通过画图得到“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”（HL）。现在可以证明：在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 和 \(\mathrm{Rt}\triangle A'B'C'\) 中，\(\angle C=\angle C'=90^\circ\)，\(AB=A'B'\)，\(AC=A'C'\)。由勾股定理，\(BC=\sqrt{AB^2-AC^2}\)，\(B'C'=\sqrt{A'B'^2-A'C'^2}\)，所以 \(BC=B'C'\)，再由 SSS 得两个三角形全等。
5. 核心点：在数轴上画出 \(\sqrt n\)
七下用单位正方形的对角线在数轴上画出了 \(\sqrt2\)。有了勾股定理，想画 \(\sqrt n\)，就先画一条长 \(\sqrt n\) 的斜边：
直觉微图解 ④把 \(n\) 拆成两个平方数之和，斜边就是 \(\sqrt n\)；以原点为圆心画弧
三步：① 把 \(n\) 拆成两个平方数的和（如 \(5=2^2+1^2\)）；② 在数轴上取 \(OA\) 为一条直角边，过 \(A\) 作数轴的垂线，截取 \(AB\) 为另一条直角边；③ 以原点 \(O\) 为圆心、\(OB\) 为半径画弧，交正半轴于 \(C\)，\(C\) 就表示 \(\sqrt n\)。拆不成两个整数平方和的（如 \(3\)），借前一步的 \(\sqrt2\) 再作一次。
自己试试：要在数轴上画出 \(\sqrt{20}\)，两条直角边取哪两个数最方便？
A。\(2^2+4^2=20\)，斜边是 \(\sqrt{20}\)。B 是 \(2+18=20\)，忘了平方；C 是 \(4\times5=20\)；D 的斜边是 \(\sqrt{200}\)。
6. 用之前必查：三大翻车现场
① 赵爽拼图：亲手把两块转上去
左边是边长 \(a\) 的正方形，右边是边长 \(b=4\) 的正方形，已经切好。拖动黄色三角形（绕左上角）和红色三角形（绕右上角）转动，转到位会自动吸住；也可以点一下圆点再用方向键，每次 \(15^\circ\)。按钮换 \(a\)。
② 梯子下滑：斜边不变，两条直角边怎么变
梯子长 \(5\) m，墙竖直、地面水平。拖动梯子底端（或顶端），或点一下圆点用方向键：每按一次，底端离墙的距离改变 \(0.1\) m，顶端高度随之变化。虚线是开始的位置（底端离墙 \(1.4\) m）。
③ 进阶：在数轴上作 \(\sqrt n\)
拖动点 \(A\)（在数轴上，取整数）和点 \(B\)（在过 \(A\) 的垂线上，取整数），看以 \(O\) 为圆心、\(OB\) 为半径的弧落在哪里。试着画出 \(\sqrt{17}\)、\(\sqrt{29}\)，再找两个不同的画法都能得到 \(5\)。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 直角三角形的两条直角边长为 \(9\) 和 \(12\)，斜边长是多少？
A。\(9^2+12^2=81+144=225\)，斜边 \(\sqrt{225}=15\)。B 是 \(9+12\)；C 是把 \(12\) 当斜边算了 \(\sqrt{144-81}\)；D 忘了开平方。
2. 边长为 \(4\) 的等边三角形，一边上的高是多少？
提示
作高，等边三角形三线合一，高把底边分成两半，得到斜边 \(4\)、一条直角边 \(2\) 的直角三角形。
A。高 \(=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt3\)。C 是 \(\sqrt{4^2+2^2}\)，把斜边当直角边了；B 是底边的一半；D 是边长，高一定比边短。
易错
3. 一个直角三角形有两条边长 \(6\) 和 \(8\)，第三条边长是多少？
提示
题目没说 \(8\) 是直角边还是斜边。两种情况都要算。
C。\(6\)、\(8\) 都是直角边时，斜边 \(\sqrt{36+64}=10\)；\(8\) 是斜边时，另一直角边 \(\sqrt{64-36}=\sqrt{28}=2\sqrt7\)。A、B 各漏了一种（翻车现场 ③）；D 是 \(6+8\)。
4. 在 \(\mathrm{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle B=90^\circ\)，\(AB=4\)，\(AC=5\)。\(BC\) 等于多少？
B。\(\angle B\) 对着 \(AC\)，\(AC\) 是斜边，\(BC=\sqrt{25-16}=3\)。A 是把 \(AC\) 当成直角边（翻车现场 ②）；C 是 \(5-4\)，没有平方。
5. 小明想在数轴上画 \(\sqrt5\)：取 \(OA=2\)（\(A\) 在正半轴上），过 \(A\) 作数轴的垂线，截取 \(AB=1\)，然后以 \(A\) 为圆心、\(AB\) 为半径画弧，交数轴于 \(A\) 右侧的点 \(C\)。点 \(C\) 表示什么数？
提示
以 \(A\) 为圆心画弧，\(AC\) 等于哪条线段？\(C\) 离原点多远？
B。以 \(A\) 为圆心，\(AC=AB=1\)，\(C\) 表示 \(2+1=3\)。要得到 \(\sqrt5\)，圆心必须是原点，半径是斜边 \(OB=\sqrt{2^2+1^2}\)。
挑战
第6题补充提示：把表面展开
蚂蚁在长方体表面从一个顶点爬到相对的顶点，最短路线怎么找？在曲折的表面上没法直接连线，就把它经过的两个相邻面展开到同一个平面，再用“两点之间线段最短”，最短路是一个直角三角形的斜边。经过的两个面有几种组合，展开后的直角边不同，要都算一算再比较。“练一练”第 6 题试一次。
6.（拓展）一个长方体盒子长 \(5\) dm、宽 \(3\) dm、高 \(1\) dm。蚂蚁从底面的一个顶点 \(A\)，沿盒子表面爬到离它最远的顶点 \(G\)（顶面上的对角顶点）。最短路程是多少？
提示 1：展开
蚂蚁要经过两个相邻的面。把这两个面展开成一个长方形，\(A\)、\(G\) 是这个长方形的对角顶点，最短路就是对角线。
提示 2：三种展开都算
展开后长方形的两边可以是 \(5\) 和 \(3+1\)，\(5+3\) 和 \(1\)，\(5+1\) 和 \(3\)。
B。三种展开：\(\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}\)，\(\sqrt{8^2+1^2}=\sqrt{65}\)，\(\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt5\)；最小的是 \(\sqrt{41}\approx6.4\)。C、D 是另外两种展开，不是最短；A 是先算底面对角线 \(\sqrt{34}\)、再和高组成直角三角形得到的 \(\sqrt{35}\)，那条线穿过盒子内部，蚂蚁爬不过去。
本节中考真题
共 64 道，含 25 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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勾股定理是中考的常客：梯子、古算题、弦图都爱考。选择、填空点开就能看分步解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 五上第6单元 · 多边形的面积小学平行四边形、三角形、梯形的割补拼图与等积变形方法，正是赵爽弦图与毕达哥拉斯拼图证明勾股定理的核心工具。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 三角函数的概念平面直角坐标系中单位圆方程 $x^2+y^2=1$ 来自勾股定理，直接给出同角三角函数基本关系 $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$。
- 高中 · 平面向量的应用初中勾股定理 $a^2+b^2=c^2$ 是直角三角形的三边定量关系，高中利用向量数量积将其推广为任意三角形的余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 与解三角形。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 平面几何综合（F1–F2）作高构造直角三角形并用两次勾股定理列方程求高与投影，是解三角形及竞赛平面几何计算题（F1–F2）的基本功。