培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
两组对边都平行的四边形，边、角、对角线各有什么规律？反过来，满足哪些条件就能断定它是平行四边形？最后用它证明一条关于三角形的定理：中位线定理。
本节导读 先修：平行线、全等、逆命题、21.1 · 本节路线
要用到：平行线的判定与性质（回看 7.2）；全等三角形的判定（回看 14.2）；互逆命题与逆定理（回看 15.1）；四边形的内角和（回看 21.1）。
- 两把直尺交叉叠放，看重叠部分的四边形。
- 定义与记号；对边、对角；梯形。
- 性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分（连对角线，用全等）。
- 判定：把性质反过来说，再加“一组对边平行且相等”。
- 三角形中位线定理：倍长中位线，构造平行四边形来证。
- 练习与中考真题。
一把宽 \(3\) cm 的直尺横放，一把宽 \(2\) cm 的直尺斜着压在上面，重叠部分是一个四边形 \(ABCD\)。改变斜放的角度（点按钮），看它的四条边：
不管怎么斜放，重叠部分的四边形一定有哪个特点？
A。直尺的两条边平行，重叠部分的两组对边分别平行。读数显示对边总相等。B 要两把尺子一样宽；C 要垂直放；D 量一下就知道不对。
两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。“对边相等”是巧合还是必然？这一节先证明它的性质，再反过来找判定它的方法。
1. 先认识几个词：平行四边形与梯形
前置知识：平行线的性质（回看 7.2）、四边形的对角线（回看 21.1）。
平行四边形：两组对边分别平行的四边形。平行四边形 \(ABCD\) 记作“▱\(ABCD\)”，字母按顶点顺序写。梯形：只有一组对边平行的四边形。“只有”两个字把平行四边形排除在外。
直觉微图解 ①数一数：有几组对边平行
核心概念 ②对边、对角；邻边、邻角
四边形中不相邻的两条边叫对边（\(AB\) 与 \(CD\)），不相邻的两个角叫对角（\(\angle A\) 与 \(\angle C\)）。这和三角形里“角所对的边”不是一回事。
核心概念 ③定义本身就能用
由定义 \(AB\parallel CD\)，\(AD\parallel BC\)，同旁内角互补：邻角互补，\(\angle A+\angle B=180^\circ\)。
2. 核心点：对边相等，对角相等
直尺量出来的“对边相等”要证明。办法是添加辅助线：连一条对角线，把平行四边形分成两个三角形，用平行线找相等的角，再用全等。
直觉微图解 ②连对角线：两个全等三角形
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
▱\(ABCD\) 的周长是 \(30\) cm，\(AB\) 比 \(BC\) 短 \(3\) cm，\(\angle A\) 比 \(\angle B\) 大 \(40^\circ\)。求各边的长和各角的度数。
① 读懂题意：四条边、四个角都要求，已知只有三条。平行四边形的哪些性质能把“四个”变成“两个”？
提示 1：边
对边相等，所以周长 \(=2(AB+BC)\)。
提示 2：角
\(\angle A\) 和 \(\angle B\) 是邻角，它们的和是多少？
看完整示范
④ 回头看：写理由时直接引用“平行四边形的对边相等”“邻角互补”，不用再去证全等。
自己试试：▱\(ABCD\) 中，\(\angle A+\angle C=140^\circ\)，\(\angle B\) 是多少？
A。对角相等，\(\angle A=\angle C=70^\circ\)；邻角互补，\(\angle B=180^\circ-70^\circ=110^\circ\)。B 是 \(\angle A\)；C 是 \(180^\circ-140^\circ\)，把 \(\angle A+\angle C\) 当成了一个角。
3. 核心点：对角线互相平分；平行线之间的距离
对角线 \(AC\)、\(BD\) 交于 \(O\)。由 \(AB=CD\) 和两对内错角，\(\triangle AOB\cong\triangle COD\)（ASA），所以 \(OA=OC\)，\(OB=OD\)：对角线互相平分。注意它不说对角线相等，也不说互相垂直。
例 2（示范）
▱\(ABCD\) 的对角线 \(AC\)、\(BD\) 交于点 \(O\)，\(AC=10\)，\(BD=16\)，\(AB=7\)。求 \(\triangle AOB\) 的周长。
提示：\(OA\)、\(OB\) 从哪来
对角线互相平分：\(OA\) 是 \(AC\) 的一半，\(OB\) 是 \(BD\) 的一半。
看完整示范
回头看：用 \(AC=10\)、\(BD=16\) 直接加，是把整条对角线当成了三角形的边。
自己试试：▱\(ABCD\) 的对角线交于 \(O\)，\(\triangle AOD\) 的周长比 \(\triangle AOB\) 的周长大 \(4\)，\(AB=5\)。▱\(ABCD\) 的周长是多少？
提示
两个三角形都有 \(OA\)，而 \(OB=OD\)。周长差就是哪两条边的差？
A。周长差 \(=AD-AB=4\)，\(AD=9\)，周长 \(2\times(5+9)=28\)。B 是只加了两条邻边；C 是把 \(4\) 当成了 \(AD\)。
平行线之间的距离。若 \(l_1\parallel l_2\)，过 \(l_1\) 上两点作 \(l_2\) 的垂线段，这两条垂线段也平行，围成平行四边形，所以它们相等：夹在两条平行线间的平行线段相等。于是 \(l_1\) 上每一点到 \(l_2\) 的距离都一样，这个距离叫两条平行线之间的距离。它是垂线段的长，不是随便连的线段的长。
4. 核心点：怎样判定一个四边形是平行四边形
把性质定理的条件和结论交换，得到逆命题（回看 15.1）。它们都能证明是真的，于是有判定定理，和相应的性质定理互为逆定理：
四边形是平行四边形，可以由下面任一条推出：
定义：两组对边分别平行；
① 两组对边分别相等；② 两组对角分别相等；③ 对角线互相平分；
④ 一组对边平行且相等（必须是同一组对边）。
看判定 ③、④ 怎样证明
③ 若 \(OA=OC\)，\(OB=OD\)，又 \(\angle AOB=\angle COD\)（对顶角），则 \(\triangle AOB\cong\triangle COD\)（SAS），\(\angle OAB=\angle OCD\)，所以 \(AB\parallel CD\)（内错角相等，两直线平行）；同理 \(AD\parallel BC\)。由定义，是平行四边形。
④ 若 \(AB\parallel CD\) 且 \(AB=CD\)：连 \(AC\)，由内错角 \(\angle BAC=\angle DCA\)，\(AC\) 公共，SAS 得 \(\triangle ABC\cong\triangle CDA\)，于是 \(BC=DA\)，再用判定 ①。判定 ①、② 留给你，提示：① 连对角线用 SSS；② 用内角和得 \(\angle A+\angle B=180^\circ\)。
直觉微图解 ③差一点就不行：这个四边形满足什么、不满足什么
例 3（示范：选哪条判定）
▱\(ABCD\) 中，点 \(E\) 在线段 \(AD\) 上（不与 \(D\) 重合），点 \(F\) 在线段 \(BC\) 上（不与 \(B\) 重合），\(AE=CF\)。求证：四边形 \(EBFD\) 是平行四边形。
① 读懂题意：已知条件落在哪？\(E\)、\(F\) 在一组对边 \(AD\)、\(BC\) 上。
提示：看 \(ED\) 和 \(BF\)
它们在 \(AD\)、\(BC\) 上，平行吗？长度能用 \(AD-AE\)、\(BC-CF\) 表示吗？
看完整示范
④ 回头看：先用性质（▱\(ABCD\) 的对边），再用判定（新四边形）——这是本节最常见的套路。
自己试试：四边形 \(ABCD\) 中，下列条件能判定它是平行四边形的是哪一个？
B。同一组对边平行且相等。A：两腰相等的梯形（微图解 ③）；C：同一个梯形对角线也相等；D：那个梯形也满足 \(\angle A=\angle B\)，\(\angle C=\angle D\)，这是两组邻角相等，不是对角。
5. 核心点：三角形的中位线
连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线，一个三角形有三条。注意和中线（顶点到对边中点）区分。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
直觉微图解 ④倍长中位线，造出平行四边形
例 4（示范）
\(\triangle ABC\) 的三边长分别是 \(7\)、\(9\)、\(10\)，\(D\)、\(E\)、\(F\) 分别是三边的中点。求 \(\triangle DEF\) 的周长。
提示
\(\triangle DEF\) 的三条边都是 \(\triangle ABC\) 的中位线，各等于哪条边的一半？
看完整示范
自己试试：\(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别是 \(AB\)、\(AC\) 的中点，\(\angle B=65^\circ\)。\(\angle ADE\) 是多少？
A。由中位线定理 \(DE\parallel BC\)，\(\angle ADE=\angle B=65^\circ\)（同位角）。B 是 \(\angle BDE\)；C 是把“一半”用到了角上——减半的是长度，角不变。
任意四边形 \(ABCD\)，连对角线 \(AC\)，两边中点的连线都是 \(AC\) 所在三角形的中位线，都平行于 \(AC\) 且等于 \(\tfrac12AC\)，所以中点四边形有一组对边平行且相等，一定是平行四边形。到“动手”③ 拖拖看。
6. 用之前必查：三大翻车现场
① 拖平行四边形的顶点：性质总成立
拖动 \(A\)、\(B\)、\(D\)（或点一下再用方向键），顶点停在格点上，\(C\) 跟着变，保证两组对边平行。
② 判定实验：四个顶点随便拖
四个顶点都能拖。读数逐条检查判定条件（按格点坐标精确计算）。试着拖出“一组平行、另一组相等”却不是平行四边形的样子。
③ 进阶：中位线与中点四边形
先看三角形的中位线，再看四边形四边中点连成的图形。顶点都能拖。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. ▱\(ABCD\) 中，\(\angle B=2\angle A\)，\(\angle C\) 是多少？
A。邻角互补：\(\angle A+2\angle A=180^\circ\)，\(\angle A=60^\circ\)，对角 \(\angle C=\angle A=60^\circ\)。B 是 \(\angle B\)；C 是把邻角当成了互余。
2. \(\triangle ABC\) 中，\(D\)、\(E\) 分别是 \(AB\)、\(AC\) 的中点，\(DE=3.5\)。\(BC\) 是多少？
A。\(DE=\tfrac12BC\)，\(BC=2DE=7\)。B 是方向弄反了；C 是以为中位线和第三边一样长。
易错
3. 四边形 \(ABCD\) 中 \(AB\parallel CD\)。再添一个条件，不能使它成为平行四边形的是哪一个？
提示
逐个对照判定。\(\angle A=\angle C\) 时，用同旁内角看看 \(AD\) 和 \(BC\)。
C。两腰相等的梯形是反例（翻车现场 ①）。A 是同一组对边平行且相等；B 是定义；D：\(AB\parallel CD\) 得 \(\angle A+\angle D=180^\circ\)，又 \(\angle A=\angle C\)，所以 \(\angle C+\angle D=180^\circ\)，\(AD\parallel BC\)。
4. ▱\(ABCD\) 的对角线 \(AC=8\)，\(BD=6\)。边 \(AB\) 的取值范围是什么？
提示
\(AB\) 在 \(\triangle AOB\) 里，另两边 \(OA\)、\(OB\) 各是多少？用三角形三边关系。
B。对角线互相平分，\(OA=4\)，\(OB=3\)，在 \(\triangle AOB\) 中 \(4-3\lt AB\lt 4+3\)。A 是直接用了整条对角线 \(8\) 和 \(6\)。
5. 下面说法正确的是哪一个？
提示
中位线连的是什么？距离是哪种线段的长？
D。A 说的是中线；B 一般不相等；C 必须是垂线段的长。
挑战
6. 平面直角坐标系中，▱\(ABCD\) 的三个顶点是 \(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)，\(C(4,2)\)。顶点 \(D\) 的坐标是什么？
提示 1：哪两条边平行且相等
按 \(ABCD\) 的顺序，\(AB\) 的对边是 \(DC\)，\(AD\) 的对边是 \(BC\)。
提示 2：用平移
从 \(B\) 到 \(C\) 怎么平移？从 \(A\) 到 \(D\) 也一样（回看 7.4）。
A。\(BC\) 是从 \(B\) 向右 \(1\)、向上 \(2\)，\(AD\) 平行且等于 \(BC\)，所以 \(D\) 是 \(A\) 向右 \(1\)、向上 \(2\)：\((0,2)\)。B 是 ▱\(ABDC\) 的第四个顶点；C 是 ▱\(ACBD\) 的。顶点顺序决定了答案。
本节中考真题
共 43 道，含 24 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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平行四边形的性质、判定和中位线，填空和解答题都常考。做完看解析。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 四上第5单元 · 平行四边形和梯形小学直观认识平行四边形对边平行且相等、认识底和高，初中通过连接对角线构造全等三角形，严格证明边、角、对角线互相平分的充要条件。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 平面向量的运算平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质，直接支撑高中向量加法的平行四边形法则、三角形法则及中点向量公式。
- 高中 · 空间直线、平面的平行立体几何中将“线面平行、面面平行”转化为“线线平行”时，最核心的辅助线手段就是构造平行四边形或三角形中位线。