26.2 二次函数的图象和性质

题目：求二次函数 \(y = -2x^2 + 8x - 5\) 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值。

第一步（提取系数）：提二次项系数 \(-2\)：\(y = -2(x^2 - 4x) - 5\)。注意提出负号后括号内一次项变号！
第二步（配方）：一次项系数一半的平方是 \((-2)^2 = 4\)：
\(y = -2(x^2 - 4x + 4 - 4) - 5 = -2(x - 2)^2 + 8 - 5 = -2(x - 2)^2 + 3\)。
第三步（结论输出）：
① \(a = -2 \lt 0\)，抛物线开口向下；
② 对称轴为直线 \(x = 2\)；
③ 顶点坐标为 \((2, 3)\)；
④ 当 \(x = 2\) 时，函数取得最大值 \(3\)。

题目：已知一条抛物线的顶点坐标是 \((1, -4)\)，且经过点 \((3, 0)\)，求这条抛物线的解析式。

解答思路：已知顶点坐标优先设顶点式：设 \(y = a(x - 1)^2 - 4\)（\(a \ne 0\)）。
将点 \((3, 0)\) 代入方程：
\(0 = a(3 - 1)^2 - 4 \implies 4a - 4 = 0 \implies a = 1\)。
∴ 解析式为 \(y = (x - 1)^2 - 4\)，化为一般式即 \(y = x^2 - 2x - 3\)。

题目：已知点 \(A(-1, y_1)\)，\(B(2, y_2)\)，\(C(-3, y_3)\) 在抛物线 \(y = -x^2 - 2x + c\) 上，试比较 \(y_1, y_2, y_3\) 的大小。

规范解答：
① 对称轴为 \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-2}{2(-1)} = -1\)，开口向下（\(a = -1 \lt 0\)）。
② 开口向下时：离对称轴越近函数值越大；离对称轴越远函数值越小。
点 \(A(-1, y_1)\) 在对称轴上，距离为 0（最大值）；
点 \(C(-3, y_3)\) 距离为 \(|-3 - (-1)| = 2\)；
点 \(B(2, y_2)\) 距离为 \(|2 - (-1)| = 3\)；
③ ∵ \(0 \lt 2 \lt 3\)，∴ \(y_2 \lt y_3 \lt y_1\)。

题目：已知抛物线开口向下，与 \(y\) 轴交于正半轴，对称轴为直线 \(x = 1\)，过点 \((-1, 0)\)。判断 \(abc\) 与 \(2a+b\) 的符号。

解答推导：
① 开口向下 \(\implies a \lt 0\)；交 \(y\) 轴正半轴 \(\implies c \gt 0\)；对称轴在 \(y\) 轴右侧，由“左同右异”得 \(b \gt 0\)；∴ \(abc \lt 0\)。
② 对称轴公式：\(x = -\dfrac{b}{2a} = 1 \implies b = -2a \implies 2a + b = 0\)。

从 \(y=2(x-1)^2+3\) 平移到 \(y=2(x+2)^2-1\)，应向哪里移动多少？为什么a相同就能保持形状？

题目：把 \(y = 3x^2 - 6x + 1\) 化为顶点式，常见错误解法如下，错在哪里？
\(y = 3(x^2 - 2x) + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 - 1 = 3(x-1)^2\)（错！）

正解剖析：在括号内加上 1 时，因为括号外乘以了 3，实际上整体增加了 \(3 \times 1 = 3\)！因此在外面必须减去 3，而不是减 1！
正确配方：\(y = 3(x^2 - 2x + 1) + 1 - 3 = 3(x-1)^2 - 2\)。顶点坐标是 \((1, -2)\)。