培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十三章 一次函数
23.2 一次函数的图象和性质
把一次函数画出来，是一条直线。\(k\) 决定它往哪边倾斜、函数值是增大还是减小，\(b\) 决定它和 \(y\) 轴交在哪里。反过来，知道直线上两个点，就能求出解析式。
本节导读 先修：23.1 一次函数的概念 · 本节路线
要用到：一次函数、正比例函数（回看 23.1）；描点法画函数图象（回看 22.2）；坐标、象限、点的上下平移（回看 9.1、9.2）；解二元一次方程组（回看 10.2）。
- 描点：正比例函数 \(y=kx\) 的图象是过原点的直线。
- \(k\gt 0\) 时从左向右上升，\(k\lt 0\) 时下降；两点法取 \((0,0)\) 和 \((1,k)\)。
- 直线 \(y=kx+b\) 由直线 \(y=kx\) 上下平移 \(\lvert b\rvert\) 个单位得到，与 \(y\) 轴交于 \((0,b)\)。
- 一次函数的性质：增减只看 \(k\)；比较函数值；与坐标轴的交点。
- 待定系数法：设 → 代 → 解 → 写，由两个点求解析式。
- 练习与中考真题。
用描点法画正比例函数 \(y=2x\) 的图象：先算几组对应值，再在坐标系里描出点。点下面的按钮，描的点一次比一次多：
照这样描下去，\(y=2x\) 的图象是什么形状？
A。点越描越密，都落在同一条直线上；\(x=0\) 时 \(y=0\)，所以经过原点。\(x\) 可以取任意实数，不只是描出来的那几个，所以不是 C。
这一节要回答：一次函数的图象都是直线吗？直线的倾斜方向、位置和 \(k\)、\(b\) 有什么关系？
1. 先认识几个词：直线 \(y=kx\)、上升与下降
前置知识：描点法（回看 22.2）、象限（回看 9.1）。把 \(y=kx\) 里的 \(k\) 换几个值，看直线怎么变：
直觉微图解 ①正比例函数的图象：过原点和 \((1,k)\) 的直线
正比例函数 \(y=kx\)（\(k\ne 0\)）的图象是一条经过原点的直线，叫作直线 \(y=kx\)。两点确定一条直线，画它只要取 \((0,0)\) 和 \((1,k)\) 两个点。
核心概念 ②\(k\gt 0\)：从左向右上升
直线经过第三、第一象限。\(x\) 越大，点越高：\(y\) 随 \(x\) 的增大而增大。
核心概念 ③\(k\lt 0\)：从左向右下降
直线经过第二、第四象限。\(x\) 越大，点越低：\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小。小学的正比例只有 \(k\gt 0\)，现在 \(k\) 可以是负数。
2. 核心点：\(y=kx+b\) 是把直线 \(y=kx\) 上下平移
比较 \(y=0.5x\) 和 \(y=0.5x+3\)：同一个 \(x\)，后者的函数值总是多 \(3\)。图象上每个点都往上挪 \(3\)，整条直线就向上平移了 \(3\) 个单位。
所以一次函数的图象也是直线，叫直线 \(y=kx+b\)，它与 \(y\) 轴交于点 \((0,b)\)。
直觉微图解 ②每个点都挪同样多：整条直线上下平移
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
画出函数 \(y=-\tfrac12 x+2\) 的图象，并说出它可以由哪条过原点的直线怎样平移得到。
① 读懂题意：图象是直线，画直线最少要几个点？取哪两个点最好算？
提示 1：取哪两个点
取 \(x=0\) 得 \((0,2)\)；再取一个让 \(y\) 是整数的 \(x\)，比如 \(x=4\)。
提示 2：平移
\(k=-\tfrac12\)，\(b=2\)：和它 \(k\) 相同、过原点的直线是哪条？
看完整示范
④ 回头看：两点法里，\((0,b)\) 最好算；另一个点挑让 \(kx\) 是整数的 \(x\)。这条直线和两条坐标轴分别交于 \((0,2)\)、\((4,0)\)。
自己试试：把直线 \(y=3x-2\) 向上平移 \(5\) 个单位长度，得到的直线是？
A。向上平移 \(5\)：每个函数值都加 \(5\)，\(y=3x-2+5=3x+3\)。B 是向下平移了；C 把 \(5\) 加到了 \(k\) 上，倾斜程度都变了；D 把 \(5\) 加到了 \(x\) 上，展开是 \(3x+13\)，不是向上平移 \(5\)。
3. 核心点：增减只看 \(k\)，\(b\) 只管位置
\(b\) 只决定直线和 \(y\) 轴交在哪里，和增减无关。
直觉微图解 ③先由 \(k\) 定升降，再由 \((0,b)\) 定位置，就知道经过哪些象限
例 2（示范）
点 \(A(-3,y_1)\)、\(B(2,y_2)\) 都在直线 \(y=-4x+7\) 上。比较 \(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小。
提示：不用算也能比
先看 \(k\) 的符号：\(y\) 随 \(x\) 怎样变化？再比较两个点的横坐标。
看完整示范
回头看：这里 \(b=7\) 完全没用上。比较同一条直线上两点的函数值，只看 \(k\) 的符号和横坐标的大小。
自己试试：直线 \(y=-0.5x+4\) 不经过哪个象限？
C。\(k=-0.5\lt 0\)，直线从左向右下降；与 \(y\) 轴交于 \((0,4)\)，在正半轴。画个草图：从左上方的第二象限下来，穿过 \((0,4)\)，经过第一象限，在 \((8,0)\) 穿过 \(x\) 轴进入第四象限。不经过第三象限。
与坐标轴的交点：令 \(x=0\)，得与 \(y\) 轴的交点 \((0,b)\)；令 \(y=0\)，解 \(kx+b=0\)，得与 \(x\) 轴的交点 \(\left(-\tfrac bk,0\right)\)。例如直线 \(y=-\tfrac12 x+2\) 与 \(x\) 轴交于 \((4,0)\)。
4. 核心点：待定系数法——由两个点求解析式
例 1 是“由解析式画直线”；反过来，知道直线上两个点，也能求出解析式。一次函数有 \(k\)、\(b\) 两个未知的系数，需要两个条件：
像这样先设出解析式、再由条件确定其中未知系数的方法，叫作待定系数法。正比例函数只有一个 \(k\)，一个非原点的点就够了。
例 3（示范）
一次函数的图象经过点 \((1,1)\) 和 \((3,-3)\)。求这个一次函数的解析式。
提示 1：设什么
没说过原点，设 \(y=kx+b\)（\(k\ne 0\)）。
提示 2：代入得什么
两个点的坐标代进去，得到关于 \(k\)、\(b\) 的二元一次方程组。
看完整示范
回头看：两个点横坐标相同时（比如 \((2,1)\) 和 \((2,5)\)），过它们的是一条竖直的直线，它不是函数的图象，也就求不出 \(k\)、\(b\)。“动手”② 里可以试试。
自己试试：一次函数的图象经过 \((0,-2)\) 和 \((3,4)\)，它的解析式是？
B。由 \((0,-2)\) 得 \(b=-2\)；再代 \((3,4)\)：\(3k-2=4\)，\(k=2\)。C 是没有“过原点”的条件却设成了 \(y=kx\)，只用了一个点；A 把 \(k\)、\(b\) 弄反了；D 把 \(4\) 当成了 \(b\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：函数值作差，b还在吗？
在y=kx+b中，取x₁<x₂。先不画图，算两函数值之差，结果还含b吗？据此说明增减性为什么只看k。
想好后看解释
在直线 \(y=kx+b\) 上任取两点，横坐标 \(x_1\lt x_2\)。两个函数值的差 \((kx_2+b)-(kx_1+b)=k(x_2-x_1)\)，\(b\) 正好消掉了。\(x_2-x_1\gt 0\)，所以差的符号和 \(k\) 相同：\(k\gt 0\) 时后一个大，\(k\lt 0\) 时后一个小。
再深一点（可跳过）：平行和陡缓能说明函数值大小吗？
两直线k相同、b不同，位置是什么关系？|k|较大的直线，函数值一定更大吗？试举一个反例。
想好后看解释
k相同而b不同，两条直线平行。|k|大只说明同样横向变化时纵向变化更大；如x=1时，y=2x−10的值为−8，小于y=x的值1，不能用陡缓判断函数值大小。
① 拖动 \(k\)、\(b\)，看直线怎么变
金圈在 \(y\) 轴上，拖它改变 \(b\)；绿圈在 \(x=1\) 的竖线上，拖它改变 \(k\)（绿圈的纵坐标是 \(k+b\)）。红线是直线 \(y=kx+b\)，灰色虚线是直线 \(y=kx\)。点一下圆圈后也可以用方向键。
② 两点定直线：待定系数法
拖动点 \(P\)、\(Q\)（只停在格点上），看由这两个点求出的解析式。试试让两个点上下对齐、左右对齐，会发生什么？
③ 进阶：由 \(x\) 的范围求 \(y\) 的范围
先选一条直线，再拖动 \(x\) 轴上的两个圆点，定出 \(x\) 的范围。红色的一段是这部分图象，\(y\) 轴上的绿色一段是对应的 \(y\) 的范围。
④ 由你列表、描点，再画直线
原滑块用于观察；这里要自己算、自己落点。图只显示你的点和你选点画出的直线，不用曲线插值，也不把有限个点都正确当作一般证明。
换函数/方法会重置本任务。x取−6至6内的整数或半单位，y及落点限−6至6；纵横每大格均为1单位，窗口外仍有图象。数值只用0–9及+ - . /，可写有符号整数、至多3位小数、p/q（整数分子绝对值≤10000，分母1至1000）；不收表达式、内部空白或科学记数。
先核表，再选表中第几行，自行输入图上坐标并落点。也可点格子或用方向键移动游标（每步1/4单位），回车取游标坐标；三分之一等点请用分数输入精确定位。游标不是已描点。
图象已知为直线，故可用两点定线（两点横坐标必须不同）；多点列表用于核算、观察和复查，不能证明所有实数位置都满足。
核表中代入运算、图上横纵位置和刻度；确认两点横坐标不同，过点画整条直线并向窗口外延伸。与y轴交点令x=0，与x轴交点令y=0。一般结论依据本节已知图象为直线，不把有限点当作证明。开放文字未自动判对。
仅本页内存和主动保存的本机文件，不写入原答题账本，不认证纸笔或同伴经历。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 正比例函数 \(y=-3x\) 的图象经过哪些象限？
C。\(k=-3\lt 0\)，过原点的直线从左向右下降，经过第二、第四象限。比如 \((-1,3)\) 在第二象限，\((1,-3)\) 在第四象限。
2. 直线 \(y=2x+6\) 与 \(x\) 轴、\(y\) 轴的交点分别是？
A。令 \(y=0\)：\(2x+6=0\)，\(x=-3\)；令 \(x=0\)：\(y=6\)。B 把两个交点对调了（翻车现场 ③）；C 解方程时符号错了。
易错
3. 一次函数 \(y=(k-2)x+3\) 中，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小，则 \(k\) 的取值范围是？
提示
增减只看 \(x\) 的系数 \(k-2\)，和常数 \(3\) 无关。
B。\(x\) 的系数 \(k-2\lt 0\)，得 \(k\lt 2\)。A 是把减小当成了增大；C 把常数项扯了进来；D 是只看字母 \(k\)，没看 \(x\) 的系数是 \(k-2\)。
4. 把直线 \(y=-2x+5\) 向下平移 \(3\) 个单位长度，得到的直线是？
提示
向下平移，每个函数值都减少 \(3\)。
A。\(y=-2x+5-3=-2x+2\)。B 方向反了（翻车现场 ②）；C 改了 \(k\)；D 是把常数项直接换成了 \(-3\)。
5. 点 \((-1,y_1)\)、\((3,y_2)\) 都在直线 \(y=-x+b\) 上（\(b\) 是常数），则 \(y_1\) 与 \(y_2\) 的大小关系是？
提示
不知道 \(b\) 也能比：\(k=-1\)，\(y\) 随 \(x\) 怎样变？
A。\(k=-1\lt 0\)，\(y\) 随 \(x\) 的增大而减小；\(-1\lt 3\)，所以 \(y_1\gt y_2\)。验算：\(y_1-y_2=(1+b)-(-3+b)=4\gt 0\)，\(b\) 消掉了，所以 D 不对。
挑战
6. 一次函数的图象经过 \((-1,5)\) 和 \((2,-1)\)。这条直线与两条坐标轴围成的三角形面积是多少？
提示 1：先求解析式
用待定系数法：\(\begin{cases}-k+b=5,\\ 2k+b=-1.\end{cases}\)
提示 2：再求两个交点
三角形的两条直角边，就是两个交点到原点的距离。
A。两式相减：\(3k=-6\)，\(k=-2\)，\(b=3\)，\(y=-2x+3\)。与 \(y\) 轴交于 \((0,3)\)，与 \(x\) 轴交于 \(\left(\tfrac32,0\right)\)。面积 \(=\tfrac12\times\tfrac32\times 3=\tfrac94\)。B 是忘了乘 \(\tfrac12\)；C 是把与 \(x\) 轴交点的横坐标 \(\tfrac32\) 当成了面积；D 是把点 \((2,-1)\) 当成了与 \(x\) 轴的交点，算成 \(\tfrac12\times 2\times 3\)。
本节中考真题
共 33 道，含 17 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
正在加载精选题…
一次函数的图象和性质是中考的常客：填一个满足条件的 \(k\) 或 \(b\)、判断增减和象限、用待定系数法求解析式。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 函数的基本性质初中对一次函数“$y$ 随 $x$ 增大而增大（或减小）”的观察，在高中用任意 $x_1<x_2$ 时 $f(x_1)<f(x_2)$ 的符号语言严格定义为函数单调性。
- 高中 · 直线的倾斜角与斜率初中一次函数 $y=kx+b$ 中决定直线陡峭程度与升降方向的系数 $k$，正是高中解析几何中的直线斜率 $k=\tan\alpha$。