并排比较

2010 年辽宁预赛 第 13 题

P010513 · 函数综合

已知 $\frac{1}{3}\le a\le 1$，若 $f(x)=a{x}^2-2x+1$ 在 $[1,3]$ 上的最大值为 $M(a)$，最小值为 $N(a)$，令 $g(a)=M(a)-N(a)$。

1. (1)

   求 $g(a)$ 的函数表达式；

2. (2)

   求证：$g(a)\ge \frac{1}{2}$ 恒成立。

2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 9 题

P007252 · 不等式的证明

设 $k,m$ 为实数，已知不等式 $|x^2-kx-m|\le 1$ 对所有 $x\in [a,b]$ 成立。证明：$b-a\le 2\sqrt{2}$。