并排比较

2026 年北京预赛

P005965 · 平面几何综合

如图，在锐角 $△ABC$ 中，$M$ 是 $BC$ 的中点，$D,E$ 是形内两点，满足 $D$ 在 $△ABM$ 的外接圆上，$E$ 在 $△ACM$ 的外接圆上，且 $MD\perp ME$。延长 $MD,ME$ 分别交 $AC,AB$ 于点 $F,G$。已知 $D,E,G,F$ 四点共圆，求证：$MD$ 平分 $\angle AMC$。

2024 年福建预赛

P006451 · 平面几何综合

如图，$O$ 为锐角 $△ABC$ 外接圆圆心，$AD$ 为 $\odot O$ 的一条直径， $H$ 是 $△ABC$ 的垂心，$BE,CF$ 是 $△ABC$ 的两条高， $M$ 是边 $BC$ 的中点，$S$ 是 $M$ 关于圆心 $O$ 的对称点。已知直线 $EF$ 过点 $S$ 且与直线 $BC$ 相交于点 $T$。

1. (1)

   求证：$H,M,D$ 三点共线；

2. (2)

   求证：$A,S,M,T$ 四点共圆；

3. (3)

   若 $△ABC$ 外接圆半径为 $R$，求线段 $AM$ 的长（用 $R$ 表示）。