2021 年中科大少年班初试

设$a\in \mathbb{R}$。关于$x$的方程$x^4-4(a-50)x^2+a^2=0$有四个实数解且成等差数列，则$a=\underline{}$。

棱长为1的正方体$ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$中，四面体$AC{B}_1{D}_1$与四面体$BD{A}_1{C}_1$公共部分的体积为$\underline{}$。

若直线$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（$a>0,b>0$）与曲线$y=\frac{4}{\sqrt{x}}$相切，则$a+b$的最小值为$\underline{}$。

一个小球在$0,1,2,\dots ,n$这$n+1$个位置移动。小球向前、向后各移动一个单位的概率都为$\frac{1}{2}$；若在0处，则只能向前移动。若初始位置在0处，则首次移动到$n$的步数的期望为$\underline{}$。

在$△ABC$中，证明

对任意$x,y\in \mathbb{R}$，有

求$f(x)$的解析式。

已知$g_0(x)=1$，$g_1(x)=x$，$g_n(x)=\frac{[g_{n-1}(x){]}^2-2^{n-1}}{g_{n-2}(x)}$。证明$g_n(x)$为$n$次整系数多项式，并求$g_n(x)=0$的所有根。

证明$\alpha$为无理数当且仅当$\forall m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$\exists n\in \mathbb{Z}$，使$0<\{n\alpha \}<\frac{1}{m}$。