2021 年中科大少年班初试 · 第 9 题

解答

先设 $\alpha$ 无理。给定 $m\ge 1$，小数部分 $\{j\alpha \}$（$j=0,1,\dots ,m$）互不相同，否则两个不同整数倍之差是整数，会使 $\alpha$ 有理。将 $[0,1)$ 等分成 $m$ 个左闭右开小区间，至少两个上述小数部分落在同一区间。记较大的减较小的为 $\delta$，则 $0<\delta <1/m$。相应取带符号的下标差 $n\in \mathbb{Z}$，有 $n\alpha =\ell +\delta$，其中 $\ell$ 是整数，所以 $\{n\alpha \}=\delta$。 反之，若 $\alpha =p/q$ 为有理数，取 $q\ge 1$ 且 $p,q$ 为整数，则所有 $\{n\alpha \}$ 都是 $1/q$ 的非负整数倍。令 $m=q$，不可能有 $0<\{n\alpha \}<1/q$，与条件矛盾。故所述条件等价于 $\boxed{\alpha \text{ 是无理数}}$。