培玉 · 一试

2023 年中科大少年班复试

返回真题卷目录

按原题序浏览；已整理 8/10 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

解方程组

{x + y + z = 0, x - 3 y + 13 z = 0,

并证明其解集构成一个向量空间。再把右边常数项 $(0, 0)$ 改为 $(1, 2)$ ，说明新方程组的解集与齐次方程组的解集有什么关系。

第 2 题

考察三个向量 $(1, a, a^{2}), (1, b, b^{2}), (1, c, c^{2})$ 。求 $a, b, c$ 满足什么条件时它们线性相关。

第 3 题

本题整理中，不计分。

第 4 题

本题整理中，不计分。

第 5 题

设 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ 是向量空间 $U$ 的一组基， ${b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}}$ 是向量空间 $V$ 的 $n$ 个向量。证明：存在唯一的线性映射 $T : U \to V$ ，使得

T (a_{i}) = b_{i} (i = 1, 2, \dots, n) .

第 6 题

在欧氏空间 $G$ 上定义内积 $x \cdot y = \sum x_{i} y_{i}$ 。设 $H$ 是 $G$ 的向量子空间。对每个 $x \in G$ ，存在唯一的 $x^{*} \in H$ ，使得对任意 $v \in H$ 都有 $(x - x^{*}) \cdot v = 0$ 。定义映射 $P : G \to H$ 为 $P (x) = x^{*}$ 。

(1)
证明 $P$ 是线性变换；
(2)
证明 $P$ 的特征值只能是0或1；
(3)
说明特征值0、1的几何意义。

第 7 题

设

T_{1} = (cos φ sin φ - sin φ cos φ), T_{2} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) .

对向量 $X = (x_{1} x_{2})$ ，求 $T_{1} (T_{2} X)$ ，并说明它在 $R^{2}$ 中的几何意义。

第 8 题

证明旋转变换矩阵的特征值模长为1。

第 9 题

如何证明一个矩阵不同特征值对应的特征向量线性无关？

第 10 题

若存在非负实数 $a_{1}, \dots, a_{m}$ ，满足

a_{1} + \dots + a_{m} = 1, x = i = 1 \sum m a_{i} x_{i},

则称 $x$ 是 $x_{1}, \dots, x_{m}$ 的一个凸组合。证明：在 $n$ 维向量空间中，任意一个向量组的凸组合都可以化为至多 $n + 1$ 个向量的凸组合。