2021 年北京预赛

按原题序浏览；已整理 8/9 题，其余不计分。至少8道且收录比例至少80%才启用模考；已知题号缺口计入总题数。题序未核实、异常或重复的卷暂不启用。

本卷原时长尚未核实，请自定练习时间；这不是官方时长。

练习时长（分钟）

计时与作答只保存在本机，关闭页面后仍按截止时间计时。交卷或到时冻结作答，再显示答案。每道选择/填空按1个自拟练习分统计，解答题另行自评；这些都不是官方分数。

第 1 题

设 $A = {1, 2, 3, 4}$ ， $B \subset {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ 。已知 $A \cap B \neq = \emptyset$ ，则 $B$ 有种可能。

向量 $a, b, c$ 满足 $a \neq = b$ ， $c \neq = 0$ ， $(c - a) \cdot (c - b) = 0$ ，则

\frac{∣ c ∣}{∣ a + b ∣ + ∣ a - b ∣}

的最大值为。

方程

x^{2} - 4∣ x ∣ + 5 = k (k \in R)

恰有四个不等实根，则 $k$ 的取值范围为。

在正三角形 $A BC$ 中， $A M$ 为 $BC$ 边上的高。点 $P, Q$ 分别从 $A, C$ 出发，沿 $A M, C A$ 以相同的速度匀速运动。当 $PB + QB$ 取最小值时， $∠ PBQ$ 的值为。

本题整理中，不计分。

记

m = 7997 \times 799 9^{3} - 7998 \times 799 6^{3},

求 $3 m$ 。

已知 $p > 5$ 为质数。去掉 $1/ p$ 小数点后的第 $2020$ 位数字，得到 $a / b$ ，其中 $a, b$ 为互质的正整数。证明： $p ∣ b$ 。

$G$ 为正三角形 $A BC$ 的重心， $P$ 为形内任意一点。记 $A B = a$ ， $GP = d$ ，又以 $P A, PB, PC$ 为边的三角形面积为 $S$ 。证明：

S = \frac{3}{12} (a^{2} - 3 d^{2}) .

函数 $f : Z \to Z$ 满足

f (x + y) = f (x) + f (y) + 4 x y,

且 $f (- 1) f (1) \geq 4$ 。求 $f (x)$ 。