培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十五章 轴对称
15.3 等腰三角形
等腰三角形沿一条线对折，两半正好重合。折一折，可以发现两个底角相等、三条线合成一条。接下来用全等证明这些性质，再研究怎样判定等腰三角形，最后看看含 30° 角的直角三角形有什么性质。
本节导读 先修：三角形、全等、垂直平分线 · 本节路线
要用到：等腰三角形、等边三角形的定义和三边关系（回看 13.1）、内角和与外角（回看 13.3）、全等的判定（回看 14.2）、线段垂直平分线（回看 15.1）。
- 从折纸进入：对折等腰三角形，看哪些角、哪些线段重合。
- 性质 1：等边对等角（用全等证明）。
- 性质 2：三线合一，等腰三角形是轴对称图形。
- 判定：等角对等边，学写“已知、求证、证明”。
- 等边三角形；含 \(30^\circ\) 角的直角三角形。
- 练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。
剪一个等腰三角形纸片 \(ABC\)（\(AB=AC\)），让两条腰对齐对折。点下面三步，看折痕和角的变化：
一个等腰三角形的顶角是 \(40^\circ\)，它的一个底角是多少度？
B。对折时 \(\angle B\) 正好盖住 \(\angle C\)，两个底角相等，各占 \((180^\circ-40^\circ)\div2=70^\circ\)。选 C 是忘了除以 \(2\)；选 D 是把 \(40^\circ\) 当成了底角去算顶角；选 A 是以为三个角都一样。
“对折能重合”只是看出来的。这一节要回答：怎样证明底角相等？折痕到底是哪条线？反过来，两个角相等能不能推出两边相等？
1. 先认识几个词：腰、底边、顶角、底角
前置提醒：有两条边相等的三角形叫等腰三角形，三条边都相等的叫等边三角形（回看 13.1）。相等的两边叫腰，另一边叫底边；两腰的夹角叫顶角，腰和底边的夹角叫底角。点下面几档，看顶角变化时底角怎么变：
直觉微图解 ①两腰一样长，改变顶角
核心概念 ②等腰三角形
只要有两条边相等。顶角可以是锐角、直角、钝角；底角一定是锐角（两个相等的角加起来小于 \(180^\circ\)）。
核心概念 ③等边三角形
三条边都相等，是特殊的等腰三角形：任意两边都可以看成腰。等腰三角形的性质它全都有，而且更多。
2. 核心点：等边对等角
性质 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。相等的边和相等的角必须在同一个三角形里。
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：证明性质 1）
已知：在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)。求证：\(\angle B=\angle C\)。
单记号表示 \(AB=AC\)，双记号表示 \(BD=CD\)，\(AD\) 是公共边。先由三组边证全等，再得底角相等；图形看起来对称不是证明依据。
① 读懂题意：要证两个角相等，常用办法是证它们所在的两个三角形全等。可是 \(\angle B\)、\(\angle C\) 在同一个三角形里，怎么办？
提示 1：折痕给的启发
对折时折痕把 \(\triangle ABC\) 分成了两个能重合的三角形。画出这条折痕：取 \(BC\) 的中点 \(D\)，连接 \(AD\)。
基础示范（可收起）
④ 回头看：折纸能帮助我们发现结论，证明时还要用三角形全等作依据。同一对全等三角形还能得到更多：\(\angle BAD=\angle CAD\)，\(\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\)——这就是下一个性质。
自己试试：等腰三角形的一个内角是 \(70^\circ\)，另外两个角是：
C。没说 \(70^\circ\) 是顶角还是底角，要分两种：是底角，另一个底角也是 \(70^\circ\)，顶角 \(180^\circ-140^\circ=40^\circ\)；是顶角，两个底角各 \((180^\circ-70^\circ)\div2=55^\circ\)。A、B 各漏了一种情况。
3. 核心点：三线合一，等腰三角形是轴对称图形
例 1 里的 \(AD\) 本来是中线，证完发现它还平分顶角、还垂直于底边。三条本来不同的线，在等腰三角形里合成了一条：
直觉微图解 ②中线（金）、高（绿）、角平分线（红）
性质 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。所以等腰三角形是轴对称图形，这条线所在的直线是它的对称轴。只对“底边上的”和“顶角的”成立。
例 2（示范）
在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(\angle BAC=110^\circ\)，\(D\) 是 \(BC\) 的中点，\(BC=7\)。求 \(\angle BAD\)、\(\angle ADB\) 和 \(BD\)。
提示：AD 是哪条线？
\(AD\) 是底边 \(BC\) 上的中线。由三线合一，它还是什么？
看完整示范
回头看：证明里这样写：“\(\because AB=AC\)，\(AD\) 是底边 \(BC\) 上的中线，\(\therefore AD\perp BC\)，\(\angle BAD=\angle CAD\)（等腰三角形三线合一）。”先说清楚在哪个三角形、哪条是底边。
自己试试：在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(BE\) 是腰 \(AC\) 上的高。下面结论一定正确的是：
C。这只是“高”的定义。\(BE\) 是腰上的高，不是底边上的高，三线合一用不上，A、B、D 都不一定成立（除非三角形恰好是等边三角形）。
作图示范：已知底边和底边上的高，尺规作等腰三角形
已知线段 \(a\) 和 \(h\)。求作等腰三角形 \(ABC\)，使底边 \(BC=a\)，底边上的高等于 \(h\)。
先作 \(BC=a\)，同半径两弧交于 \(M,N\)，作中垂线 \(MN\)；再从中点 \(D\) 截取 \(DA=h\)，连接两腰。这里 \(a,h\) 都为正，作图弧线保留。
① 读懂题意：顶点 \(A\) 要满足两件事：\(AB=AC\)；\(A\) 到 \(BC\) 的距离是 \(h\)。由三线合一，底边上的高也是中线，所以 \(A\) 应在 \(BC\) 的哪条线上？
提示：先找顶点所在的直线
\(AB=AC\)，由 15.1 的判定定理，\(A\) 在 \(BC\) 的垂直平分线上（回看 15.1）。
基础示范（可收起）
回头看：第 (3) 步在 \(BC\) 的上方或下方截取都可以，得到的两个三角形全等。作图时保留弧线等作图痕迹。
4. 核心点：等角对等边——学写已知、求证
把性质 1 的题设和结论交换，得到它的逆命题：“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。”它也是对的（作 \(\angle A\) 的平分线，用 AAS 可以证明），于是有了判定等腰的方法：
直觉微图解 ③底边 \(BC\) 不动，两端各作一个角，量一量 \(AB\)、\(AC\)
判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。它和“等边对等角”是互逆定理。
例 3（示范：把文字命题写成已知、求证）
求证：如果三角形两个角的平分线交于一点，并且这一点到这两个角的顶点距离相等，那么这个三角形是等腰三角形。
先把文字条件落到图上：\(BO\)、\(CO\) 分别平分两个内角，短记号表示 \(OB=OC\)。先在小三角形 \(OBC\) 由边推角，再回到 \(ABC\) 由角推边。
① 读懂题意：先画图，把文字里的每个条件翻译成图上的字母。“两个角的平分线交于一点”写成什么？“到顶点距离相等”呢？
提示 1：先写已知、求证
已知：在 \(\triangle ABC\) 中，\(BO\) 平分 \(\angle ABC\)，\(CO\) 平分 \(\angle ACB\)，\(OB=OC\)。求证：\(AB=AC\)。
基础示范（可收起）
④ 回头看：文字命题的证明顺序：画图 → 已知（用图中字母把条件写全）→ 求证 → 证明。
自己试试：四边形 \(ABCD\) 中，\(AD\parallel BC\)，\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)，\(AB=5\)。则 \(AD\) 等于多少？
B。\(AD\parallel BC\)，\(\angle ADB=\angle DBC\)（内错角）；\(BD\) 平分 \(\angle ABC\)，\(\angle ABD=\angle DBC\)。所以在 \(\triangle ABD\) 中 \(\angle ADB=\angle ABD\)，等角对等边，\(AD=AB=5\)。“平行 + 角平分线”常常藏着一个等腰三角形。
5. 核心点：等边三角形与含 30° 角的直角三角形
等边三角形的三个角都相等，每个角都是 \(60^\circ\)。判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 \(60^\circ\) 的等腰三角形是等边三角形（分 \(60^\circ\) 是顶角、是底角两种情况都能证）。用等边三角形，可以得到直角三角形里一个很有用的结论：
直觉微图解 ④把含 30° 角的直角三角形翻折一下
在直角三角形中，如果一个锐角等于 \(30^\circ\)，那么它所对的直角边等于斜边的一半。用之前确认三件事：直角三角形、\(30^\circ\) 角、对边与斜边。
例 4（示范）
一段斜坡，坡面 \(AB\) 长 \(26\) m，坡面与水平地面的夹角是 \(30^\circ\)。从坡底走到坡顶，升高了多少米？
提示：画出直角三角形
从坡顶 \(B\) 向地面作垂线，垂足 \(C\)。升高的是哪条边？它对着哪个角？
看完整示范
回头看：水平走了多远（\(AC\)）现在还求不出来，要等八年级下册学了勾股定理。
自己试试：在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 中，\(\angle C=90^\circ\)，\(\angle B=30^\circ\)，\(AB=8\)。下面正确的是：
A。\(30^\circ\) 角是 \(\angle B\)，它所对的直角边是 \(AC\)，\(AC=\tfrac12 AB=4\)。选 B 是把 \(30^\circ\) 角的邻边当成了斜边的一半；C、D 是把“一半”用反成了“两倍”。
6. 用之前必查：三大翻车现场
选读探究（可以跳过）：三角形中边与角的不等关系
在 \(\triangle ABC\) 中，如果 \(AC>AB\)，那么 \(\angle B>\angle C\)（大边对大角）。折纸可以说明：作 \(\angle BAC\) 的平分线 \(AD\)，交 \(BC\) 于点 \(D\)。沿 \(AD\) 折叠，因为 \(AC>AB\)，点 \(B\) 落在边 \(AC\) 上的点 \(B'\) 处；\(D\) 在折痕上不动，\(BD\) 落到 \(B'D\)。于是 \(\angle AB'D=\angle B\)（折叠重合）。而 \(\angle AB'D\) 是 \(\triangle B'DC\) 的外角，大于 \(\angle C\)，所以 \(\angle B>\angle C\)。这是用轴对称把“不等”变成“相等”的办法。
① 拖动顶点 \(A\)：什么时候三线合一？
拖动 \(A\)（或点一下再用方向键），每次走 \(0.5\) 格。金线是 \(BC\) 边上的中线，绿线是高，红线是 \(\angle A\) 的平分线。
② 只给一个角：是顶角还是底角？
拖动下方滑块上的圆点，改变已知角 \(\alpha\)（每次 \(5^\circ\)）。左边把它当顶角，右边把它当底角。
③ 进阶：为什么偏偏是 30°？
斜边 \(AB=10\) 格不变。拖动 \(B\) 改变 \(\angle A\)（每次 \(1^\circ\)），看 \(BC\) 和斜边的比。虚线是沿 \(AC\) 翻折得到的 \(\triangle AB'C\)。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 等腰三角形的顶角是 \(80^\circ\)，它的底角是：
C。\((180^\circ-80^\circ)\div2=50^\circ\)。B 忘了除以 \(2\)；D 是 \(180^\circ-2\times80^\circ\)，把 \(80^\circ\) 当成了底角。
2. 在 \(\triangle ABC\) 中，\(AB=AC\)，\(AD\perp BC\) 于点 \(D\)，\(BC=10\)，\(\angle BAC=50^\circ\)。下列结论正确的是：
A。\(AD\) 是底边上的高，由三线合一，它也是中线和顶角平分线：\(BD=\tfrac12 BC=5\)，\(\angle BAD=\tfrac12\angle BAC=25^\circ\)。B 是忘了顶角被平分；C 把整条 \(BC\) 当成了 \(BD\)；D 中的 \(65^\circ\) 是底角 \(\angle B\)，不是 \(\angle BAD\)。
易错
3. 等腰三角形的两边长分别是 \(4\) cm 和 \(9\) cm，它的周长是：
提示
分“腰是 \(4\)”“腰是 \(9\)”两种，每种都用三边关系检验。
B。腰是 \(4\)：\(4+4=8<9\)，围不成三角形；腰是 \(9\)：\(9,9,4\) 可以，周长 \(22\) cm。C 是没检验三边关系（翻车现场 ②）；A 只算了不成立的那种。
4. 等腰三角形的一个角是 \(106^\circ\)，它的底角是：
提示
\(106^\circ\) 能不能是底角？两个底角加起来会怎样？
A。若 \(106^\circ\) 是底角，两个底角就有 \(212^\circ\)，超过 \(180^\circ\)，不可能。所以它是顶角，底角 \((180^\circ-106^\circ)\div2=37^\circ\)。C 是机械地分了类却没检验；D 是忘了除以 \(2\)。
5. 下列说法正确的是：
提示
每个说法都试着找一个反例。
B。A 漏了“等腰”，\(60^\circ,50^\circ,70^\circ\) 是反例；C 应是 \(30^\circ\) 角所对的直角边；D 只对底边和顶角成立（翻车现场 ①、③）。
挑战
6. 等边三角形 \(ABC\) 的边长为 \(12\)，\(D\) 是 \(BC\) 的中点，\(DE\perp AB\) 于点 \(E\)。\(AE\) 的长是：
提示 1：找 30° 角
\(\angle B=60^\circ\)，\(\angle BED=90^\circ\)，那么 \(\angle BDE\) 是多少度？
提示 2：在哪个直角三角形里用
在 \(\text{Rt}\triangle BDE\) 中，斜边是 \(BD=6\)，\(30^\circ\) 角 \(\angle BDE\) 所对的边是 \(BE\)。
A。\(BD=6\)，\(\angle BDE=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\)，所以 \(BE=\tfrac12 BD=3\)，\(AE=12-3=9\)。B 是只求了 \(BE\)；C 是以为 \(E\) 是 \(AB\) 的中点。
本节中考真题
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等腰三角形几乎每年都考：求角、分类讨论、和垂直平分线或 30° 角一起用。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 空间直线、平面的垂直等腰三角形“三线合一”与勾股定理逆定理，是立体几何中先证线线垂直、再由判定定理证线面垂直与面面垂直的最常用工具。