九年级上册 · 第二十五章一元二次方程

25.2 降次——解一元二次方程

解一元二次方程，要把二次转化为一次，这叫作“降次”。这一节学习四种解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，以及根的判别式与韦达定理。

本节导读　先修：25.1 概念 · 19.1 二次根式 · 本节路线

要用到：一元二次方程的一般形式（回看 25.1）、平方根与二次根式的化简（回看 19.1）、完全平方公式与因式分解（回看 17.2）。

从开平方开始：体会把二次转化为一次的“降次”过程。
配方法：用割补拼图的几何直观，将任意一般式配成完全平方。
公式法：把配方过程总结为求根公式，用根的判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 判断实数根的情况。
因式分解法与韦达定理：利用 $AB=0$ 求根，认识两根之和与两根之积的规律。
动手试验：在几何拼图与数轴根位动态演示中看清解法的本质。
自检与巩固练习，注意三个常见错误。

一个正方形的面积如果是 $9\text{ cm}^2$，它的边长是 $3\text{ cm}$；但在代数方程中，未知数 $x^2 = 9$ 的解却有两个：$x_1 = 3, x_2 = -3$。如果把方程变成 $(x - 1)^2 = 4$，未知数该怎么求？

对于方程 $(x - 3)^2 = 16$，根据平方根的意义两边开平方，它的两个实数根是（　）

B。两边开平方，得 $x - 3 = \pm 4$：当 $x - 3 = 4$ 时，$x_1 = 7$；当 $x - 3 = -4$ 时，$x_2 = -1$。选 A 是忘记把括号里的 $-3$ 移项变号。

这种通过平方根的意义，把一个二次方程转化为两个一次方程的思想，就叫作“降次”！

1. 先认识几个词：配方法的几何直观与计算步骤

前置知识：完全平方公式 $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$（回看 16.3）。如果一个方程不是现成的完全平方（如 $x^2 + 6x + 4 = 0$），我们能不能手动把它“凑”成完全平方呢？

直觉微图解 ①几何配方拼图：把 $x^2 + 6x$ 补全为一个大正方形

核心法则两边加一次项系数一半的平方

对于 $x^2 + bx$，一次项系数是 $b$，一半是 $\dfrac{b}{2}$，平方就是 $\left(\dfrac{b}{2}\right)^2$。在两边同时加上它，左边立刻配成 $\left(x + \dfrac{b}{2}\right)^2$！

避坑硬核二次项系数必须先化为 1

如果二次项系数不是 1（如 $2x^2 - 8x + 1 = 0$），必须先两边同除以 2，化为 $x^2 - 4x = -\dfrac{1}{2}$ 后，再加 $(-2)^2 = 4$。切忌直接配方！

示范例题 1：用配方法解一元二次方程（标准五步）

题目：用配方法解方程 $2x^2 - 6x - 1 = 0$．

① 读懂题意：二次项系数是 2，不是 1；常数项是 $-1$。要求用配方法求解。

② 想办法：移项把常数项移到右边 $\to$ 两边除以 2 化二次项系数为 1 $\to$ 两边加一次项系数一半的平方 $\to$ 开平方降次求解。

③ 执行与检查：
移项，得：$2x^2 - 6x = 1$．
二次项系数化为 1，方程两边同时除以 2，得：$x^2 - 3x = \dfrac{1}{2}$．
配方，两边同时加上 $\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{9}{4}$，得：
$x^2 - 3x + \dfrac{9}{4} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$，即 $\left(x - \dfrac{3}{2}\right)^2 = \dfrac{11}{4}$．
开平方降次，得：$x - \dfrac{3}{2} = \pm\dfrac{\sqrt{11}}{2}$．
解得：$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{11}}{2},\ x_2 = \dfrac{3 - \sqrt{11}}{2}$．

④ 回头看：检查配方时是否两边同时加上了 $\dfrac{9}{4}$；开方后分母 $\sqrt{4}=2$ 必须化简。

自己试试 1：将方程 $x^2 - 8x + 3 = 0$ 用配方法转化为 $(x + m)^2 = n$ 的形式，则 $m$ 和 $n$ 的值分别为（　）

D。移项得 $x^2 - 8x = -3$；两边加 $4^2 = 16$，得 $x^2 - 8x + 16 = -3 + 16 \implies (x - 4)^2 = 13$。对比 $(x+m)^2 = n$，得 $m = -4, n = 13$。

2. 核心点一：公式法与根的判别式 $\Delta$

对一般形式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）实施配方法，两边除以 $a$ 得 $x^2 + \dfrac{b}{a}x = -\dfrac{c}{a}$，两边加 $\left(\dfrac{b}{2a}\right)^2$，得到惊天结论：

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \implies \mathbf{x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}} \quad (\Delta \ge 0)$

分子的根号内式子 $\mathbf{\Delta = b^2 - 4ac}$ 叫作根的判别式。它是方程根的“指挥官”！

直觉微图解 ②判别式 $\Delta$ 三态透视镜：决定根的命运

示范例题 2：用公式法解方程并判断根的情况

题目：用公式法解一元二次方程 $2x^2 + 5x - 3 = 0$．

① 读懂题意：方程已是一般形式，$a = 2, b = 5, c = -3$．

② 想办法：先计算判别式 $\Delta = b^2 - 4ac$ 的值，确认非负后再代入求根公式。

③ 执行与检查：
这里 $a = 2, b = 5, c = -3$．
$\Delta = b^2 - 4ac = 5^2 - 4\times 2\times (-3) = 25 - (-24) = 49 > 0$．
因为 $\Delta > 0$，所以原方程有两个不相等的实数根：
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-5 \pm \sqrt{49}}{2\times 2} = \dfrac{-5 \pm 7}{4}$．
解得：$x_1 = \dfrac{-5 + 7}{4} = \dfrac{1}{2},\ x_2 = \dfrac{-5 - 7}{4} = -3$．

④ 回头看：检查分母是 $2a = 4$，绝不是 2；算 $-4ac$ 时负负得正为 $+24$。

自己试试 2：不解方程，下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（　）

A。A 选项 $\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times 1 = 9 - 4 = 5 > 0$，有两个不相等的实数根；B 选项 $\Delta = 16 - 16 = 0$（两相等实根）；C 选项 $\Delta = 1 - 8 = -7 \lt 0$（无实根）；D 选项 $\Delta = 4 - 8 = -4 \lt 0$（无实根）。

3. 核心点二：因式分解法与根与系数的关系（韦达定理）

当方程能迅速分解为两个一次因式相乘时，因式分解法是最快、最优雅的方法：

$A \cdot B = 0 \iff A = 0 \quad \text{或} \quad B = 0$

不仅如此，若一元二次方程有两个实数根 $x_1, x_2$，把求根公式相加相乘，就能得出韦达定理：

$\mathbf{x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}}, \quad \mathbf{x_1 x_2 = \frac{c}{a}} \quad (\Delta \ge 0)$

直觉微图解 ③因式分解法降次直观：两路分支一分为二

示范例题 3：利用根与系数的关系（韦达定理）求代数式的值

题目：已知 $x_1, x_2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 4x + 2 = 0$ 的两个实数根，求代数式 $x_1^2 + x_2^2$ 的值。

① 读懂题意：题目不要求我们具体解出 $x_1$ 和 $x_2$，而是求平方和。

② 想办法：根据完全平方公式，$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$。利用韦达定理，直接写出两根之和与两根之积，整体代入。

③ 执行与检查：
这里 $a = 1, b = -4, c = 2$．
首先检验判别式：$\Delta = (-4)^2 - 4\times 1\times 2 = 16 - 8 = 8 > 0$，方程确有两个实根．
由根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = -\dfrac{-4}{1} = 4$，$x_1 x_2 = \dfrac{2}{1} = 2$．
所以：$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 4^2 - 2\times 2 = 16 - 4 = 12$．

④ 回头看：牢记两根之和带负号 $-b/a$；必须写出判别式 $\Delta \ge 0$ 的有效性保障。

示范例题 4：四种解法如何选用？（解法最优策略对比）

题目：解方程：(1) $3x(x - 2) = x - 2$；(2) $x^2 - 6x - 7 = 0$．

① 读懂题意：根据方程特征选择最简便的解法，不走弯路。

② 想办法：
(1) 两边都有公因式 $(x - 2)$，必须移项提取公因式，绝不能两边直接约掉 $(x-2)$！
(2) 虽可用公式法，但常数项 $-7$ 与一次项系数 $-6$ 很容易因式分解为 $(x - 7)(x + 1) = 0$，因式分解法秒杀。

③ 执行：
(1) 移项得：$3x(x - 2) - (x - 2) = 0 \implies (x - 2)(3x - 1) = 0$，解得 $x_1 = 2, x_2 = \dfrac{1}{3}$．
(2) 因式分解得：$(x - 7)(x + 1) = 0$，解得 $x_1 = 7, x_2 = -1$．

④ 策略总结：直接开平、因式分解能用先用；二次项为 1 且一次项为偶数可用配方法；其余用公式法保底。

自己试试 3：已知方程 $x^2 - 5x + 3 = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，则 $\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2}$ 的值为（　）

B。通分：$\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} = \dfrac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$。由韦达定理，$x_1 + x_2 = 5, x_1 x_2 = 3$，代入得 $\dfrac{5}{3}$。选 A 是两根之和符号弄错。

翻车现场 ①两边同除以含未知数式子导致丢根！

解 $x(x - 3) = 2(x - 3)$ 时，顺手两边同时除以 $(x - 3)$，得出 $x = 2$。丢掉了 $x - 3 = 0 \implies x = 3$ 这个根！必须移项提公因式：$(x-3)(x-2)=0$。

翻车现场 ②公式法求根中负负得正翻车

若 $b = -4$，代入求根公式时分子前面是 $-b$，很多同学写成 $-4$；应为 $-(-4) = +4$！算 $\Delta$ 时 $(-4)^2 = 16$，负数的平方必须是非负数。

翻车现场 ③韦达定理忘查判别式产生伪解

利用 $x_1 + x_2$ 和 $x_1 x_2$ 求参数值时，求出的参数必须检验是否满足 $\Delta \ge 0$。若原方程在实数范围内根本无根，韦达定理就不存在实数立足点！

动手实验 ①动态几何配方拼图实验室：观察缺口如何补齐

拖动一次项系数 $b$ 的数值，观察矩形 $x^2 + bx$ 如何被拆解并自动补上小正方形 $\left(\frac{b}{2}\right)^2$，拼成大正方形：

一次项系数 $b$：6

动手实验 ②（进阶）根的判别式与数轴表示：观察两根的位置变化

对于方程 $x^2 - 4x + c = 0$（$a=1, b=-4$），拖动常数项 $c$ 的大小，观察判别式 $\Delta = 16 - 4c$ 的正负如何操控两根在数轴上的聚拢、重合与消失：

常数项 $c$：3

③ 我来构造方程，再从一根迁移

先自己选已知数或原方程，再填写计算与代回结果。两条任务都要查首项非0、实根条件与和积符号；允许0根、负根、分数和两个相等的实根。本工坊只处理有理数输入，不覆盖根式输入。

数值用整数、有限小数（最多12位）或整数分数（正分母），每个整数词元最多12位。支持全角数字及＋、－、．、／和负号“−”；首尾、分数线两侧可留空格，数字中不能夹空格，不输入算式、指数、单位或根式。自选参数绝对值≤20，约分后分母≤20；填写结果不受此参数范围限制，须用精确值。

A. 以自己选的两个实数为根

B. “已知一根”也先核原方程

我的构造与迁移记录（最多12条）

草稿与记录仅留本页内存，刷新或清空即清除，不写学习账本。

1. 直接用：用直接开平方法解方程 $(x - 2)^2 = 9$，它的实数根是（　）

B。两边开平方得 $x - 2 = \pm 3 \implies x_1 = 2 + 3 = 5,\ x_2 = 2 - 3 = -1$。

2. 直接用：一元二次方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 的两根之和与两根之积分别是（　）

C。由韦达定理，$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a} = -\dfrac{-2}{1} = 2$，$x_1 x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-3}{1} = -3$。

3. 易错题：用因式分解法解方程 $x(x - 5) = x - 5$，正确的解是（　）

提示

切忌两边同时除以 $(x - 5)$！把右边移到左边并提取公因式。

D。移项得 $x(x - 5) - (x - 5) = 0 \implies (x - 5)(x - 1) = 0 \implies x_1 = 1, x_2 = 5$。选 A 是直接约掉 $(x-5)$ 丢掉了根 $x=5$。

4. 易错题：若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2x + k = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围是（　）

提示

有两个不相等的实数根要求判别式 $\Delta > 0$。注意常数项符号。

A。方程有两个不相等的实数根，$\Delta = (-2)^2 - 4\times 1\times k = 4 - 4k > 0 \implies 4 > 4k \implies k \lt 1$。选 B 是混淆了“有两个实数根（$\Delta \ge 0$）”与“有两个不相等实数根（$\Delta > 0$）”。

5. 综合题：已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 3x + m = 0$ 的两根为 $x_1, x_2$，且满足 $x_1^2 + x_2^2 = 7$，则 $m$ 的值是（　）

提示

变形为 $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2$，求出 $m$ 后记得验证 $\Delta \ge 0$。

C。由韦达定理，$x_1 + x_2 = 3, x_1 x_2 = m$。$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 3^2 - 2m = 9 - 2m = 7 \implies 2m = 2 \implies m = 1$。检验判别式：$\Delta = (-3)^2 - 4\times 1\times 1 = 9 - 4 = 5 > 0$，符合题意，选 C。

巩固练习 1：用配方法解一元二次方程 $x^2 - 2x - 2023 = 0$ 时，将它转化为 $(x + a)^2 = b$ 的形式，则 $a^b$ 的值为（　）

D。移项得 $x^2 - 2x = 2023$；两边同时加上一次项系数一半的平方 $1^2$，得 $x^2 - 2x + 1 = 2023 + 1$，即 $(x - 1)^2 = 2024$．对比 $(x + a)^2 = b$，得 $a = -1, b = 2024$．因此 $a^b = (-1)^{2024} = 1$，故选 D．

本节中考真题

共 33 道，含 11 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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题型参照中考

往后学 · 高中数学

把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：

高中 · 二次函数与一元二次方程、不等式求根公式、判别式 $\Delta=b^2-4ac$ 与十字相乘因式分解，是高中定位二次函数零点并写出了一元二次不等式解集的基本功。

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一试延伸（入门 F1–F2）

学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：

一试 · 多项式（F1–F2）一元二次方程的判别式与韦达定理（根与系数的关系），是竞赛处理对称代数式求值、根的分布与多项式零点问题的核心桥梁。

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