26.3 二次函数与一元二次方程

题目：已知二次函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的图象与 \(x\) 轴交于点 \(A(-2, 0)\)，\(B(6, 0)\)。
(1) 写出方程 \(ax^2 + bx + c = 0\) 的根；
(2) 求抛物线的对称轴。

规范解答：
(1) 抛物线与 \(x\) 轴交点的横坐标就是方程的实数根，因此方程的解为 \(x_1 = -2, x_2 = 6\)。
(2) 抛物线上的交点 \(A, B\) 关于对称轴对称，对称轴为线段 \(AB\) 的中垂线：
\(x = \dfrac{x_1 + x_2}{2} = \dfrac{-2 + 6}{2} = 2\)。
∴ 抛物线的对称轴为直线 \(x = 2\)。

题目：若二次函数 \(y = x^2 - 4x + k\) 的图象与 \(x\) 轴有两个不同的公共点，求 \(k\) 的取值范围。

规范解答：
令 \(y = 0\)，得到一元二次方程 \(x^2 - 4x + k = 0\)。
因为抛物线与 \(x\) 轴有两个不同的公共点，所以对应方程有两个不相等的实数根，必须满足判别式 \(\Delta \gt 0\)：
\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times k = 16 - 4k \gt 0 \implies 4k \lt 16 \implies k \lt 4\)。
∴ 常数 \(k\) 的取值范围为 \(k \lt 4\)。

题目：画出函数 \(y = -x^2 + 2x + 3\) 的简图，并结合图象写出当 \(x\) 取何值时，\(-x^2 + 2x + 3 \ge 0\)。

解答思路：
① 令 \(y = 0\)，\(-x^2 + 2x + 3 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0\)，交点为 \((-1, 0)\) 和 \((3, 0)\)。
② \(a = -1 \lt 0\)，开口向下，顶点最高在上方。
③ 要求 \(y \ge 0\)，即图象位于 \(x\) 轴上方或刚好在 \(x\) 轴上的部分。
由图象直观可得：自变量取值范围为 \(-1 \le x \le 3\)。

题目：求方程 \(x^2 - 2x - 1 = 0\) 在区间 \([2, 3]\) 内的正近似根（精确到 0.1）。

二分法四步拆解：设 \(f(x) = x^2 - 2x - 1\)。
① \(f(2) = 4 - 4 - 1 = -1 \lt 0\)；\(f(3) = 9 - 6 - 1 = 2 \gt 0\)。两端异号，说明根在 \([2, 3]\) 内。
② 取中点 \(x_1 = 2.5\)，\(f(2.5) = 6.25 - 5 - 1 = 0.25 \gt 0\)。根落在 \([2, 2.5]\) 内。
③ 再取中点 \(x_2 = 2.25\)，\(f(2.25) = 5.0625 - 4.5 - 1 = -0.4375 \lt 0\)。根落在 \([2.25, 2.5]\) 内。
④ 类似继续逼近可得近似根约为 \(2.4\)（精确根为 \(1+\sqrt{2} \approx 2.414\)）。体会区间不断减半逼近的数学思想！

题目：抛物线 \(y = x^2 - (m+2)x + 2m\) 与 \(x\) 轴交于点 \(A(x_1, 0)\)，\(B(x_2, 0)\)。若 \(AB = 3\)，求 \(m\) 的值。

正解剖析：令 \(y = 0\)，得 \(x^2 - (m+2)x + 2m = 0\)。因式分解得 \((x-m)(x-2) = 0 \implies x_1 = m, x_2 = 2\)。
两点间距离为 \(AB = |x_1 - x_2| = |m - 2| = 3\)。
解绝对值方程：\(m - 2 = 3 \implies m = 5\)；或 \(m - 2 = -3 \implies m = -1\)。
很多同学常漏掉绝对值只算得 \(m = 5\)，牢记距离必须带绝对值！