同一骨架 2024 年吉林预赛 · P006513
把底边作为一个基方向后，另一个独立方向的系数控制点相对底边的高度；沿底边改变的部分不影响该高度。两题先统一起点并合并边向量，再分别利用平行或等高关系读出所需比例。
平行边问题先由共线方向消去另一基方向的系数，再求有向边的长度比；面积问题利用点与中点同高，负的沿底边系数也允许。
培玉 · 一试
2011 年湖北预赛 · 第 1 题
F2填空题向量的概念与运算
已知 是 所在平面上一点，满足
则 与 的面积之比为。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
向量式有多个出发点，先全部改写成从 A 出发，合并未知向量。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
求面积比时只需 P 到公共底边的距离，不必求完整坐标；把 AC 中点引入后，剩下平行 AB 的分量不会影响这条高。
解答
令 。 原向量等式化为
取 的中点 ，则 ，所以 ，从而 。 故 到直线 的距离相同，而 为 中点，其到 的距离是 的一半。 两三角形共底 ，面积之比为高之比，故
此处 是非退化三角形，所以分母面积非零； 不必在三角形内部。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
先把不同起点的向量等式统一到同一原点，解出动点与边向量的线性关系；再用中点和平行线读出高的比例，共底面积比不要求点在三角形内。
联系 · 2 条
同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试（A 卷） 第 7 题 · P007261
两题先用共同起点的边向量表示点或分点，保留其线性系数，再转到面积或数量积。这样能把位置关系与度量计算分开，避免一开始就引入所有点的具体坐标。
一题的点可以在三角形外，沿底边分量不影响共底面积比；另一题中点系数均在边上，角和面积进一步固定展开式的混合项。
已记下，谢谢！