2023 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

对 $x>0$，$x-\sin x={\int }_0^x(1-\cos t)dt>0$。令 $h(x)=\sin x-x+x^3/6$，则 $h(0)=h^{\prime }(0)=0$，$h^{\prime \prime }(x)=x-\sin x>0$，故 $\boxed{x-x^3/6<\sin x<x}$。原递推归纳给 $0<a_{n+1}<a_n<\sqrt{3}$，因为这一范围内 $0<\sin a_n<a_n$。记 $b_n=n{a}_n$，则 $0<b_{n+1}-b_n=a_n-\sin a_n<a_n^3/6$，并且 $b_{n+1}>b_n>0$。于是 $\frac{1}{b_{n+1}}>\frac{1}{b_n}-\frac{a_n}{6n^2}\ge \frac{1}{b_n}-\frac{a_1}{6n^2}$。对 $n\ge 2$ 累加，利用 ${\sum }_{k=1}^{n-1}1/k^2\le {\sum }_{k=1}^{n-1}2/[k(k+1)]<2$，得 $1/b_n>1/a_1-a_1/3>0$。取倒数，连同 $n=1$ 的直接检验，得到 $\boxed{n{a}_n<\frac{3a_1}{3-a_1^2}}$。