垫脚石（此题 → 相关题） 2022 年甘肃预赛 · P006817
两题求导后共享指数函数与自变量比值的参数约束。先在正半轴掌握端点极限给出的必要界及其充分性，再把条件扩到整个实数轴，分别处理自变量正负两侧的不等号方向。
只在正半轴成立的参数界不能直接用于负半轴；后一题还把同一比值用作极值点随参数变化的对应函数。
培玉 · 一试
2026 年广西预赛
F2填空题导数的应用
设函数 ，当 时单调递增，则 的取值范围是 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
单调性等价于控制导数 的符号。
思路
把参数移到一侧后，关键是求 在正半轴上的下确界，并检查边界参数能否取到。
解答
对 ，
令 ，则
记 ，有 且 ，所以 ，从而 在 上严格递增。又
故 对所有 成立。
若 ，则
所以 严格递增。若 ，由上述极限可取充分小的 使 ， 此时 ，不满足题意。因此
复核
边界 时 （），所以端点应包含； 必要性使用的是 ，没有把不属于定义区间的 当作取值点。
方法总结
含参数函数在开区间上单调的问题，先把导数不等式化为参数与一个辅助函数的比较。 若最值只作为端点极限出现，要另行核查边界参数是否仍给出严格单调。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
求导后用给出充分性，再由x趋零确定a≤1/2的必要性。
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易混 2026 年云南预赛 · P006116
两题都把单调性化为导数对全区间的符号条件，并从导数中的变量部分寻找临界参数。临界值来自实际端点还是仅来自开端极限，必须分开；导数在孤立点为零也不自动破坏严格单调。
一题的导数界在闭半轴端点达到，另一题只在开端逼近；两者都要把临界参数代回，而不是机械删除等号。
已记下，谢谢！