培玉 · 初中数学← 返回主页八年级下册 · 第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
有些量“每过一份，就变化同样多”：水桶每分钟多 3 升，蜡烛每小时短 3 厘米。这样均匀变化的两个量，写出来的函数都长成同一个样子——这就是一次函数。
本节导读 先修：22.1 函数的概念、22.2 函数的表示 · 本节路线
要用到：函数、自变量、函数值、解析式、自变量的取值范围（回看 22.1、22.2）；用字母列式子（回看 3.1）。
- 从蓄水桶进入：每分钟多 3 升，叫“均匀变化”。
- 写解析式：起点 + 每份的变化 × 份数，得到 \(y=kx+b\)。
- 一次函数的定义：\(k\ne 0\) 不能省；\(k=0\) 时 \(y=b\) 是常数。
- 正比例函数：\(b=0\) 的一次函数，\(k\) 可以是负数。
- 判断与求解析式：先整理再看；“成正比例”只用一个点求 \(k\)；含字母的题两个条件一起写。
- 实际问题要写自变量的取值范围；练习与中考真题。
一个蓄水桶里原来有 \(8\) L 水。打开进水管后，每分钟流进 \(3\) L。点下面的按钮，看看每过 \(1\) 分钟桶里有多少水：
照这样流下去，打开进水管 \(6\) 分钟后，桶里有多少水？
B。原有 \(8\) L，再流进 \(6\) 个 \(3\) L：\(8+3\times 6=26\)。选 A 是忘了原来的 \(8\) L；选 C 是把 \(8\times 3\) 当成了答案；选 D 是把分钟数直接加上去了。
把时间记作 \(x\) 分钟、水量记作 \(y\) L，就有 \(y=3x+8\)。每过 \(1\) 分钟，\(y\) 都多 \(3\)——这叫均匀变化。这一节要回答：均匀变化的两个量，解析式长什么样？怎样一眼认出它？
1. 先认识几个词：均匀变化、一次函数、正比例函数
前置知识：函数、解析式、自变量的取值范围（回看 22.1）。先列表看“每一步变化多少”：自变量每增加相同的量（这里每次加 \(1\)），函数值都变化同样多，就是均匀变化。点下面三个例子比一比：
直觉微图解 ①看相邻两格的差：差都一样，就是均匀变化
前两个例子的解析式都是“一个常数乘自变量，再加一个常数”。于是有：
核心概念 ②一次函数
形如 \(y=kx+b\)（\(k\)、\(b\) 是常数，\(k\ne 0\)）的函数，叫作一次函数，\(x\) 是自变量。\(k\) 是每增加 \(1\) 时 \(y\) 的变化量，\(b\) 是 \(x=0\) 时的函数值。
核心概念 ③正比例函数
\(b=0\) 时，\(y=kx\)（\(k\) 是常数，\(k\ne 0\)）叫作正比例函数，\(k\) 叫比例系数。正比例函数是特殊的一次函数；\(k\) 可以是负数，比如 \(y=-2x\)。
因k≠0，kx+b中x的最高次数是1（回看4.1整式的次数），与“一次”的名称对应。
2. 核心点：解析式 = 起点 + 每份的变化 × 份数
均匀变化的问题，抓住两个数：起点（自变量为 \(0\) 时的值）和每份的变化（自变量每增加 \(1\)，函数值变化多少，减少就记成负数）。
直觉微图解 ②从起点 \(b\) 出发，每份走 \(k\)，走 \(x\) 份就到 \(y\)
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
一根新蜡烛长 \(24\) cm，点燃后每小时缩短 \(3\) cm。点燃 \(x\) 小时后剩下的长度是 \(y\) cm。(1) 写出 \(y\) 关于 \(x\) 的解析式和 \(x\) 的取值范围；(2) 点燃 \(5\) 小时后还剩多长？
① 读懂题意：起点是多少？每小时的变化是多少、是增加还是减少？
提示 1：找起点和每份
\(x=0\)（刚点燃）时 \(y=24\)，起点 \(b=24\)；每小时短 \(3\) cm，每份变化 \(k=-3\)。
提示 2：范围从哪来
时间不能是负数；蜡烛烧完就不能再烧了，剩下的长度不能小于 \(0\)。
看完整示范
④ 回头看：\(k=-3\ne 0\)，所以这是一次函数；\(b=24\ne 0\)，它不是正比例函数。实际问题里，同一个式子还要配上取值范围。
自己试试：租一辆电动自行车，先付起步价 \(2\) 元，之后每骑 \(1\) 分钟再付 \(0.3\) 元。骑 \(x\) 分钟一共付 \(y\) 元，\(y\) 关于 \(x\) 的解析式是？
B。起点 \(b=2\)，每分钟 \(k=0.3\)。选 C 是把起点和每份弄反了；选 A 是把两个数加成了每分钟的价钱；选 D 展开是 \(0.3x+0.6\)，起步价只算了 \(0.6\) 元。
3. 核心点：\(k\ne 0\) 为什么不能省
把 \(y=kx+3\) 里的 \(k\) 换几个值，看函数值怎么变：
直觉微图解 ③\(k\) 管“每一步变多少”：\(k=0\) 时一步也不变
判断一个函数是不是一次函数，分三步：先整理（去括号、合并）→ 看是不是“常数 × 自变量 + 常数”→ 查 \(x\) 的系数不为 \(0\)。再看常数项是不是 \(0\)，判断它是不是正比例函数。
例 2（示范）
下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？(1) \(y=3(x-2)\)；(2) \(y=\dfrac{x}{4}\)；(3) \(y=2x^2+1\)；(4) \(C=\pi d\)（\(d\) 是直径）；(5) \(y=7-x\)。
提示：先把每个式子整理成 \(y=kx+b\) 的样子
(1) 去括号；(2) \(\dfrac{x}{4}=\dfrac14 x\)；(4) \(\pi\) 是一个数，不是变量。
看完整示范
回头看：字母不一定是 \(x\)、\(y\)：(4) 的自变量是 \(d\)。\(k\) 可以是 \(\pi\)、\(\tfrac14\) 这样的数，也可以是负数。
自己试试：下面哪一个是正比例函数？
B。\(y=-\tfrac13 x\)，\(k=-\tfrac13\ne 0\)，\(b=0\)。比例系数可以是负数。A 是一次函数但 \(b=1\ne 0\)；C 有 \(x^2\)；D 相当于 \(k=0\)，是常数，连一次函数都不是。
4. 核心点：“成正比例”与含字母的题
“\(y\) 与 \(x\) 成正比例”就是 \(y=kx\)（\(k\ne 0\)）：知道一组对应值，代进去就能求出 \(k\)。但“\(y\) 与 \(x+1\) 成正比例”是 \(y=k(x+1)\)，展开是 \(y=kx+k\)，一般不是正比例函数。
直觉微图解 ④正比例函数这一圈，整个包在一次函数里面
例 3（示范）
(1) 已知 \(y\) 与 \(x\) 成正比例，且 \(x=4\) 时 \(y=-6\)。写出解析式，并求 \(x=-2\) 时 \(y\) 的值。(2) 若 \(y=(m-3)x+m+2\) 是正比例函数，求 \(m\)。
提示 1：(1) 先设什么
设 \(y=kx\)，把 \(x=4,\ y=-6\) 代进去求 \(k\)。
提示 2：(2) 要几个条件
正比例函数要两条同时成立：常数项 \(=0\)，\(x\) 的系数 \(\ne 0\)。
看完整示范
回头看：含字母的题，“常数项为 \(0\)”和“\(k\ne 0\)”要一起写，缺一条就可能多出一个错答案（见“自己试试”③）。
自己试试：若 \(y=(a+1)x+a-1\) 是正比例函数，则 \(a=\)？
A。常数项 \(a-1=0\)，得 \(a=1\)；此时 \(k=a+1=2\ne 0\) ✓，函数是 \(y=2x\)。选 B：\(a=-1\) 时 \(k=0\)，函数变成 \(y=-2\)，不是正比例函数；选 D：\(a=0\) 时是 \(y=x-1\)，常数项不为 \(0\)。
5. 用之前必查：三大翻车现场
① 起点和每份：拖出你的一次函数
柱子是 \(x=0,1,2,3,4,5\) 时的函数值。拖动 \(x=0\) 那根柱子的顶端（金圈）改变起点 \(b\)，拖动 \(x=1\) 那根的顶端（绿圈）改变每份 \(k\)；点一下圆圈再用方向键也行。
② 进阶：实际问题的取值范围
一根 \(24\) cm 的蜡烛，先选每小时烧短多少，再拖动时间轴上的圆点（或用方向键）。看看式子算出来的长度什么时候不合实际。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 下列函数中，是一次函数的是哪一个？
B。\(y=-0.5x+4\)，\(k=-0.5\ne 0\)。A、C 整理后都有 \(x^2\)；D 是常数函数，\(k=0\)。
2. 手机电量现在是 \(80\%\)，看视频时每分钟耗电 \(2\) 个百分点。看 \(x\) 分钟后电量还剩 \(y\%\)。解析式和取值范围都对的是哪一个？
A。起点 \(80\)，每分钟 \(-2\)：\(y=-2x+80\)。电量不能小于 \(0\)：\(-2x+80\ge 0\)，\(x\le 40\)。B 漏了上限，\(x=50\) 时会算出 \(-20\%\)；C 把起点和变化的符号都弄反了；D 把耗电当成了充电。
易错
3. 下列说法正确的是哪一个？
提示
想想 \(y=-2x\)、\(y=x+1\)、\(y=5\) 各属于哪一类。
C。正比例函数是 \(b=0\) 的一次函数。A 错在“不同的两类”（翻车现场 ②）；B 中 \(k=0\)（翻车现场 ①）；D 的反例：\(y=x+1\)。
4. 已知 \(y\) 与 \(x-2\) 成正比例，且 \(x=4\) 时 \(y=6\)。\(y\) 关于 \(x\) 的解析式是？
提示
成正比例的是 \(x-2\) 这个整体：设 \(y=k(x-2)\)。
B。\(6=k(4-2)\)，\(k=3\)，\(y=3(x-2)=3x-6\)。A 是误设 \(y=kx\) 得到的（\(6=4k\)）；C 漏了 \(-6\)；D 去括号时符号错了。
5. 若 \(y=(m-3)x+m^2-9\) 是正比例函数，则 \(m=\)？
提示
两条一起写：\(m^2-9=0\)，且 \(m-3\ne 0\)。
B。\(m^2=9\)，\(m=3\) 或 \(m=-3\)；但 \(m=3\) 时 \(k=0\)，函数是 \(y=0\)，不是正比例函数，舍去。所以 \(m=-3\)，函数是 \(y=-6x\)。选 C 是忘了查 \(k\ne 0\)。
挑战
6. 华氏温度 \(F\)（°F）与摄氏温度 \(C\)（℃）的关系是 \(F=1.8C+32\)。有一个温度，用两种温度计量出的读数一样。这个读数是多少？
提示 1：把“读数一样”写成方程
读数一样就是 \(F=C\)，于是 \(1.8C+32=C\)。
提示 2：检查
求出 \(C\) 后代回 \(F=1.8C+32\)，看 \(F\) 是不是和 \(C\) 相同。
A。\(1.8C+32=C\)，\(0.8C=-32\)，\(C=-40\)；此时 \(F=1.8\times(-40)+32=-40\) ✓。B 是移项时 \(32\) 没变号；D：\(C=0\) 时 \(F=32\)，不一样。\(F\) 是 \(C\) 的一次函数：摄氏每升高 \(1\) ℃，华氏升高 \(1.8\) °F。
本节中考真题
共 3 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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中考里一次函数的概念常和实际问题一起考：先认出“均匀变化”，写出解析式，再求值。
先修回顾 · 小学数学
学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：
- 小学 · 六下第4单元 · 比例小学正比例关系 $y/x=k$ 在引入负数与坐标平面后，直接成为初中正比例函数 $y=kx$，再经上下平移得到一般一次函数 $y=kx+b$。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 等差数列等差数列通项公式 $a_n=dn+(a_1-d)$ 本质上是定义在正整数集上的一次函数（或常数函数），公差 $d$ 对应一次函数的斜率。