培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第九章 平面直角坐标系
9.2 坐标方法的简单应用
坐标能干两件事：说清一个地方“在哪”，说清一个图形“怎么动”。另外还有一种说位置的老办法：方向角加距离。
本节导读 先修：9.1 坐标、7.4 平移 · 本节路线
要用到：点的坐标、象限（回看 9.1）；平移的概念和性质（回看 7.4）；平行线的内错角相等（回看 7.2）；小学用“北偏东”和距离描述位置。
- 从游戏里的小机器人进入：往右走，坐标怎么变。
- 用坐标表示地理位置：选原点、定方向、定单位。
- 方向角和距离：从正北或正南量起；换参照点要整个掉头。
- 点的平移：左右动横坐标，上下动纵坐标。
- 图形的平移：每个点作同样的加减；反过来由坐标变化看出平移。
- 练习与中考真题，回看最容易错的两处：“平移几”和“变成几”、方向角反过来。
一个方格小游戏以出发点为原点建立了平面直角坐标系。小机器人站在 \((-2,\,1)\)，每按一下“→”键向右走 \(1\) 格。先点下面的按钮看看按 \(1\)、\(2\)、\(3\) 下的结果：
如果从 \((-2,\,1)\) 出发按 \(4\) 下，小机器人的坐标是什么？
A。向右走只改左右位置：横坐标 \(-2+4=2\)；上下没动，纵坐标还是 \(1\)。选 B 是改错了坐标；选 C 是往右却减了；选 D 是把“走 4 格”当成“横坐标变成 4”。
这就是用坐标表示平移。这一节还要用坐标在地图上标地点，并学另一种说位置的办法：方向角和距离。
1. 先认识几个词：参照点、方向角、坐标平移
前置知识：点的坐标（回看 9.1）；平移（回看 7.4）。先看一张校园平面图：地点没动，换一个地点当原点，会怎样？
直觉微图解 ①地点没动，换一个参照点当原点，坐标全变
用坐标表示地理位置：① 选一个明显的地点作参照点，当原点；② 定方向，通常正东为 \(x\) 轴正方向、正北为 \(y\) 轴正方向；③ 定单位长度，说清 \(1\) 个单位代表多少米。缺一样，坐标就说不清。
方向角和距离：“\(B\) 在 \(A\) 的北偏东 \(50^\circ\) 方向，相距 \(3\) km”——站在 \(A\)，从正北方向向东转 \(50^\circ\)，沿这个方向走 \(3\) km 到 \(B\)。方向角总是从正北或正南量起，偏向东或西。
用坐标表示平移：点 \((x,\,y)\) 向右（左）平移 \(a\) 个单位，横坐标加（减）\(a\)，纵坐标不变；向上（下）平移 \(b\) 个单位，纵坐标加（减）\(b\)，横坐标不变（\(a\)、\(b\) 为正数）。图形平移，就是它上面每个点都作同样的平移。
核心概念 ②两套说法，不能混写
坐标说“往东几个单位、往北几个单位”；方向角说“朝哪个方向、走多远”。“北偏东 \(30^\circ\)，\(2\) km”不能写成 \((30,\,2)\)。
核心概念 ③平移是“加减”，不是“改成”
\((6,\,4)\) 向下平移 \(3\) 个单位：纵坐标 \(4-3=1\)，得 \((6,\,1)\)，不是把纵坐标改成 \(-3\)。
2. 核心点：用坐标表示地理位置
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
以公园东门为原点，正东、正北分别为 \(x\) 轴、\(y\) 轴的正方向，\(1\) 个单位长度代表 \(200\) m。博物馆在东门东 \(600\) m、北 \(400\) m；地铁站在东门西 \(200\) m、南 \(800\) m。(1) 写出两地的坐标；(2) 改用博物馆作原点（方向、单位不变），地铁站的坐标是什么？
① 读懂题意：给的是米数和东西南北，要换成“几个单位”和正负号。
提示 1：方向翻成符号
东、北取正，西、南取负；米数除以 \(200\) 得单位个数。
提示 2：换原点后怎么算
站在博物馆看地铁站：往西一共走多少米？往南一共走多少米？
看完整示范
④ 回头看：地铁站一步没挪，换了原点坐标就变。所以写坐标前，先写一句“以 × 为原点，正东、正北为正方向，\(1\) 个单位代表 × m”。
自己试试：以旗杆为原点，正东、正北为 \(x\)、\(y\) 轴正方向，\(1\) 个单位长度代表 \(20\) m。食堂的坐标是 \((5,\,-3)\)。食堂在旗杆的哪里？
B。横坐标 \(5\)：往东 \(5\times20=100\) m；纵坐标 \(-3\)：往南 \(3\times20=60\) m。A 忘了换算单位；C 符号全反了；D 把横、纵管的方向对调了。
3. 核心点：方向角和距离，反过来怎么说
直觉微图解 ②方向角：先找正北或正南，再往东或西转
南北互换、东西互换，角度和距离都不变。
直觉微图解 ③为什么角度不变：两条南北线平行，内错角相等
例 2（示范）
码头 \(B\) 在灯塔 \(A\) 的南偏东 \(35^\circ\) 方向，相距 \(5\) km。灯塔 \(A\) 在码头 \(B\) 的什么方向、多远？
提示：参照点换了
原来站在 \(A\) 看 \(B\)，现在站在 \(B\) 看 \(A\)，方向整个掉头。只改一个字够吗？
看完整示范
④ 回头看：答方向角题，主语、参照点、角度、距离四样写全。
自己试试：小岛 \(Q\) 在观测站 \(P\) 的北偏西 \(15^\circ\) 方向，相距 \(8\) km。观测站 \(P\) 在小岛 \(Q\) 的什么方向？
C。北换南、西换东，角度不变，相距仍是 \(8\) km。A 只换了东西；B 只换了南北；D 把角改成了 \(90^\circ-15^\circ\)，角度其实不变。
4. 核心点：用坐标表示平移
\((x,\,y)\xrightarrow{\text{向右平移 }a}(\color{#2F7A56}{\underbrace{x+a}_{\text{左右只动横坐标}}},\,y)\)
\((x,\,y)\xrightarrow{\text{向上平移 }b}(x,\,\color{#966524}{\underbrace{y+b}_{\text{上下只动纵坐标}}})\)
往右、往上加；往左、往下减。反过来：各点横坐标都加（减）同一个正数，图形就向右（左）平移；纵坐标同理对应上（下）。
直觉微图解 ④点 P 往四个方向走：只有一个坐标在变
例 3（示范）
三角形 \(ABC\) 的顶点是 \(A(-2,\,-1)\)、\(B(1,\,-1)\)、\(C(0,\,2)\)。先向左平移 \(1\) 个单位，再向上平移 \(2\) 个单位，得到三角形 \(A'B'C'\)。写出新顶点的坐标。
提示：先把文字翻成加减
向左 \(1\)：横坐标怎么变？向上 \(2\)：纵坐标怎么变？三个顶点都照同一条算。
看完整示范
④ 回头看：\(B'\) 的横坐标是 \(0\)，落在 \(y\) 轴上。平移后点可能跑到轴上或别的象限，照算就行。
自己试试：点 \(P(-1,\,4)\) 平移后得到 \(P'(2,\,1)\)。\(P\) 是怎样平移的？
A。横坐标从 \(-1\) 到 \(2\)，增加 \(3\)：向右 \(3\)；纵坐标从 \(4\) 到 \(1\)，减少 \(3\)：向下 \(3\)。B 方向全反了；C 把新坐标当成了移动的格数；D 是把两个点的坐标相加了，平移量要用“新坐标减旧坐标”求。
先横后纵，还是先纵后横？结果一样。平移到哪，只看横坐标一共变了多少、纵坐标一共变了多少。依次沿两条轴平移两次，也可以看成一次斜着的平移（“动手”③）。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可以先跳过）：方向距离任务怎样估测两地间距？
坐标变了一定是平移吗？要所有点的横坐标都加（减）同一个数、纵坐标也都加（减）同一个数才是。比如三角形的一个顶点向右移 \(1\)、另两个顶点向右移 \(2\)，各点移动得不一样，这不是平移。
只知道观测点到两地的方向和距离，本页任务采用比例尺作图，再量出图上距离换算为实际距离，这是估测，会有测量误差。若两地与观测点恰好同向共线，能否直接用线段的和差精确求距离？
想好后看解释
能。例如两地在观测点同一方向的射线上，到观测点分别为 3 km、5 km，那么两地相距 2 km。一般配置则需结合图形条件选择方法，不能一概说精确计算必须等到九年级。
先自己做 ①：给模拟校园制作坐标地图
这是一张虚构的校园图，每小格横、竖都代表 50 m。从四个地点中选一个熟悉、明显的地点作原点；选好两轴正方向和相同的单位长度，再填写四地坐标。无需填写真实地址或姓名。
先按所选方向数格，再换算为单位个数。可填整数、小数或分数（如 1/2）；横坐标在前。核对后，空心方块会标出你填写的位置。
先填坐标，再核对。
完成后换另一个原点，再做一次。
短答不作自动正误判定。请和同伴互读：能找到你选的原点吗？能说清两条轴的正方向吗？两轴是否用了同一单位？纸笔延伸：另画四个虚构地点，互换后按坐标找点。线下完成情况需自行核对。
先自己做 ②：写全平移后的顶点
选择一个多边形，规定它先沿横轴、再沿纵轴平移。独立填写每个新顶点，再核对各点是不是作了相同的加减。负数表示向左或向下，0 表示这一方向不移动。
平移单位数为 −3 到 3 的整数或半整数。改题会清空作答。每格 1 个单位，核对前只画原图。
先独立填写全部新顶点。
双海岛测量任务正在加载。请用纸笔、量角器和直尺完成作图、测量与比例尺换算。
再用原来的演示观察、验证
① 拖动三角形：顶点坐标怎样加减
拖动 \(A'\) 处的圆点（或点一下再用方向键），整个三角形跟着平移。虚线三角形是原来的位置，细虚线连着对应点。
② 方向角和距离：站在 A 看 B，站在 B 看 A
拖动 \(B\)（或点一下再用方向键：左右键转 \(5^\circ\)，上下键改距离 \(0.5\) km）。每一圈代表 \(1\) km。绿色弧是站在 \(A\) 量的角，金色弧是站在 \(B\) 量的角。
③ 进阶：先横后纵 vs 先纵后横
拖动终点 \(P'\)。蓝线是“先左右、再上下”，红虚线是“先上下、再左右”，比一比终点。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 点 \((3,\,-2)\) 向左平移 \(5\) 个单位，得到的点坐标是什么？
A。向左只动横坐标：\(3-5=-2\)，纵坐标不变。B 往左却加了；C 动错了坐标；D 把纵坐标也弄乱了。
2. 以车站为原点，正东、正北为 \(x\)、\(y\) 轴正方向，\(1\) 个单位长度代表 \(500\) m。医院的坐标是 \((-2,\,3)\)。医院在车站的哪里？
D。横坐标管东西：\(-2\) 是往西 \(2\times500=1000\) m；纵坐标管南北：\(3\) 是往北 \(1500\) m。B 忘了换算；C 把横纵对调了。
易错
3. 点 \((-1,\,4)\) 向下平移 \(6\) 个单位，得到的点坐标是什么？
提示
“向下平移 \(6\)”是在原来的纵坐标上减 \(6\)，还是把纵坐标改成 \(-6\)？
B。纵坐标 \(4-6=-2\)。A 把“平移 \(6\)”当成“变成 \(-6\)”（翻车现场 ①）；C 动成了横坐标；D 往下却加了。
4. 公园在学校的南偏西 \(25^\circ\) 方向，相距 \(1.2\) km。学校在公园的什么方向？
提示
换成站在公园看学校。南北要不要换？东西要不要换？角度呢？
A。南换北、西换东，角度、距离不变：学校在公园的北偏东 \(25^\circ\) 方向，相距 \(1.2\) km。B、C 只换了一半（翻车现场 ③）；D 改了角度。
5. 三角形平移后，顶点 \(A(-3,\,2)\) 到了 \(A'(1,\,-1)\)。按同样的方式，顶点 \(B(0,\,5)\) 到了哪里？
提示 1：先读出平移方式
由 \(A\to A'\)：横坐标变了多少？纵坐标变了多少？
提示 2：套用到 B
图形平移时每个点作同样的加减。
C。\(A\to A'\)：横 \(-3\to1\)，加 \(4\)（向右 \(4\)）；纵 \(2\to-1\)，减 \(3\)（向下 \(3\)）。\(B'(0+4,\,5-3)=(4,\,2)\)。A 加减全反了；B 照抄了 \(A'\)；D 横坐标对了，纵坐标是往下却加了 \(3\)。
挑战
6. 点 \(P\) 先向右平移 \(3\) 个单位，再向下平移 \(5\) 个单位，得到点 \((1,\,-2)\)。点 \(P\) 原来的坐标是什么？
提示 1：倒着走回去
从 \((1,\,-2)\) 出发，把两步反过来：先向上 \(5\)，再向左 \(3\)。
提示 2：或者列式
设 \(P(x,\,y)\)，则 \(x+3=1\)，\(y-5=-2\)。
A。倒推：横 \(1-3=-2\)，纵 \(-2+5=3\)，\(P(-2,\,3)\)。验证：\((-2+3,\,3-5)=(1,\,-2)\) ✓。B 是又往前平移了一次；C、D 只倒推对了一个坐标。
本节中考真题
共 13 道，含 2 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
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往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 平面向量基本定理及坐标表示初中用横纵坐标加减描述点的平移 $(x+a,y+b)$，在高中直接升级为平面向量的正交分解与坐标线性运算。