培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十六章 整式的乘法
16.3 乘法公式
有些多项式乘法形式特殊、结果整齐，记成公式就能直接写答案。这一节的两组公式——平方差、完全平方——都能用拼图的面积看出来；最常见的错，是把 \((a+b)^2\) 写成 \(a^2+b^2\)。
本节导读 先修：16.2 整式的乘法 · 本节路线
要用到：多项式乘多项式（回看 16.2）；积的乘方，如 \((3x)^2=9x^2\)（回看 16.1）；去括号法则（回看 4.2）。
- 从扩建正方形菜地进入：面积增加的不只是 \(3^2\)。
- 平方差公式：一项相同、一项相反；用“挖去、剪开、拼成”看面积。
- 完全平方公式：中间项 \(2ab\) 从哪来；\((a+b)^2\ne a^2+b^2\)。
- 公式里的 \(a\)、\(b\) 可以是数、单项式，也可以是多项式。
- 添括号法则：为了用公式，先把几项括成一个整体。
- 练习与中考真题：简便计算、化简求值。
一块正方形菜地边长 \(10\) m。现在每条边都加长 \(3\) m，还是正方形。点按钮看看边长分别加 \(1\)、\(2\)、\(3\) m 时，多出来的是哪几块：
边长加长 \(3\) m 后，面积比原来增加了多少平方米？
B。新面积 \(13^2=169\)，增加 \(169-100=69\)。看图：多出两条 \(10\times3\) 的长条和一个 \(3\times3\) 的小方块，\(30+30+9=69\)。选 A 只算了小方块；选 C 少算了一条；选 D 漏了小方块。
写成式子：\((10+3)^2=10^2+2\times10\times3+3^2\)。把 \(10\)、\(3\) 换成任意的 \(a\)、\(b\)，这一节就研究这类特殊形式的乘法。
1. 先认识几个词：乘法公式，“认 a、认 b”
前置提醒：多项式乘多项式要“每一项乘每一项”（回看 16.2）。某些形式特殊的乘积，乘出来总是同一个样子，就把它写成乘法公式，遇到相同形式直接写结果。用公式前先认清公式里的 \(a\)、\(b\) 分别对应哪一项；\(a\)、\(b\) 可以是数、单项式，也可以是多项式，代入时要整体代入。
直觉微图解 ①平方差型：一项完全相同，另一项互为相反数
对比 ①平方差：两个不同的二项式相乘
\((a+b)(a-b)\)：相同项 \(a\)、相反项 \(\pm b\)，结果只有两项 \(a^2-b^2\)，中间项抵消了。
对比 ②完全平方：同一个二项式自乘
\((a\pm b)^2=(a\pm b)(a\pm b)\)，结果有三项 \(a^2\pm2ab+b^2\)，中间项不抵消。
2. 核心点：平方差公式
按多项式乘法展开：\((a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\)，中间两项 \(-ab\) 与 \(ab\) 互为相反数，合并为 \(0\)。
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
直觉微图解 ②挖去、剪开、拼成：剩下的面积既是 \(a^2-b^2\)，又是 \((a+b)(a-b)\)
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
计算：(1) \((4x+3)(4x-3)\)；(2) \((-2p+q)(-2p-q)\)；(3) \(103\times97\)。
① 读懂题意：先判断能不能用平方差公式：哪一项相同？哪一项相反？
提示 1：认 a、认 b
(1) \(a=4x\)，\(b=3\)；(2) 相同的是 \(-2p\)，相反的是 \(q\) 与 \(-q\)，所以 \(a=-2p\)、\(b=q\)；(3) 把 \(103\) 写成 \(100+3\)，\(97\) 写成 \(100-3\)。
看完整示范
④ 回头看：(2) 里 \(a\) 是 \(-2p\)，不是 \(2p\)；平方后符号消失，但认错 \(a\) 在别的题里会出错。(3) 把两个数写成“整百 ± 同一个数”，就能用公式简算。
自己试试：\((x+2y)(x-2y)\) 等于多少？
A。\(b=2y\)，\(b^2=(2y)^2=4y^2\)。选 B 只给 \(y\) 平方、漏了系数 \(2\)；选 C 符号错；选 D 多出了中间项，平方差型的中间项会抵消。
再试一个：下列乘法中，能用平方差公式计算的是哪一个？
C。相同的项是 \(-n\)，相反的项是 \(2m\) 与 \(-2m\)：结果 \((-n)^2-(2m)^2=n^2-4m^2\)。A、B、D 的两个因式各项都互为相反数，没有“相同的一项”，它们等于某个完全平方的相反数，例如 A 是 \(-(a+b)^2\)。
3. 核心点：完全平方公式
\((a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\)。把 \(b\) 换成 \(-b\)，就得到 \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)。
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的 \(2\) 倍。
直觉微图解 ③\((a+b)^2\)：边长 \(a+b\) 的正方形分成四块，两个长方形就是 \(2ab\)
直觉微图解 ④\((a-b)^2\)：去掉两条，多减的一块补回来
例 2（示范）
计算：(1) \((3x+5)^2\)；(2) \(\left(3a-\tfrac12b\right)^2\)；(3) \(59^2\)。
① 读懂题意：都是一个二项式的平方。\(a\)、\(b\) 各是什么？中间项怎么写？
提示：中间项写完整
先写成 \(2\cdot a\cdot b\) 的完整样子再化简，例如 (1) 中间项 \(2\cdot3x\cdot5\)。(3) \(59=60-1\)。
看完整示范
④ 回头看：\((A+B)^2\) 的中间项是 \(2AB\)，\((A-B)^2\) 的中间项是 \(-2AB\)；\(A\)、\(B\) 本身带负号时，代入时保留完整符号再算。
自己试试：\((x-3)^2\) 等于多少？
B。\(x^2-2\cdot x\cdot3+3^2\)。选 A 漏了中间项，还把 \(+9\) 写成了 \(-9\)；选 C 中间项少了 \(2\) 倍；选 D 中间项符号错。
4. 核心点：添括号，把几项看成一个整体
去括号反过来就是添括号：括号前面是 \(+\) 号，括进去的各项都不变号；括号前面是 \(-\) 号，括进去的各项都改变符号。添完立刻去括号还原一遍，就能检查。
例 3（示范）
计算：(1) \((x-y+2)(x-y-2)\)；(2) \((m+n-3)(m-n+3)\)。
提示 1：哪几项相同、哪几项相反？
(1) \(x-y\) 相同，\(2\) 与 \(-2\) 相反；(2) \(m\) 相同，\(n-3\) 与 \(-n+3\) 相反。
提示 2：添括号
(2) \(m+n-3=m+(n-3)\)，\(m-n+3=m-(n-3)\)。
看完整示范
④ 回头看：把多项式看成公式里的一个字母，平方差、完全平方就能连着用，不必把九项全展开。
自己试试：\(x-2y+3=x-(\quad)\)，括号里应填什么？
B。括号前是负号，括进去的两项 \(-2y\)、\(+3\) 都要变号：\(2y-3\)。还原检查：\(x-(2y-3)=x-2y+3\) ✓。选 A 只变了第一项；选 C 一项都没变；选 D 只变了第二项。
5. 用之前必查：三大翻车现场
再深一点（可跳过）：展开三次，猜系数规律
先用多项式乘法展开 \((a+b)^3\)，再比较一次、二次、三次展开式的系数。下一行的数可能怎样由上一行得到？
想好后看解释
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)。系数依次为1,1；1,2,1；1,3,3,1。两端为1，中间各数等于上行相邻两数之和，这称为杨辉三角。本节不要求记三次公式。
① 平方差：挖去、拼成
拖动圆点（或点一下再用方向键）改变 \(a\)、\(b\)（\(a>b>0\)）。左边是挖去小正方形后的图形，右边是把它剪开拼成的长方形。
② 完全平方：少了哪两块？
拖动 \(a\)、\(b\)，比较整个正方形 \((a+b)^2\) 和两个小正方形 \(a^2+b^2\) 差多少。
③ 进阶：差的平方，多减一块再补上
边长 \(a\) 的正方形，从右边和下边各去掉一条宽 \(b\) 的长条，剩下左上角的正方形边长 \(a-b\)。右下角的小方块被两条长条各减了一次。
④ 章末探究：月历中的数字关系
自选月份和一个完整局部块，先计算、记录，再寻找不随位置改变的关系。本活动只研究下列两种形状；可以换形状另做一轮。
数值输入支持整数、小数或整数分数（分母为正整数）。首尾、分数线两侧可留空格，数字内部不能加空格；整数部分、分子和分母最多 8 位，小数最多 8 位；不输入算式、指数或单位。也支持全角数字和负号“−”。
周一为一周的第一列。方块点左上日期；横排点中间日期。淡色日期不能作锚点：所选形状必须同属本月，横排不能跨周，方块不能从周日绕到下一行。
请点选一个可用的日期。
| 锚点 | 局部日期 | 结果 |
|---|
对照一般式，自查自己的说明
把方块左上日期记为 \(n\)，四个数依次为 \(n,n+1,n+7,n+8\)。本轮算的是左上乘右下减右上乘左下：\(n(n+8)-(n+1)(n+7)=n^2+8n-(n^2+8n+7)=-7\)。
横排把中间日期记为 \(n\)，另外两个为 \(n-1,n+1\)。两端的积减中间数的平方：\((n-1)(n+1)-n^2=n^2-1-n^2=-1\)，用到了平方差公式。
逐项自查：① 字母代表哪个日期？② 相邻列差 1、相邻行差 7 的式子写对了吗？③ 展开、减括号和结论一致吗？④ 三个日期在同一周，或方块两列没有跨周，且所有日期都在本月吗？一般式说明所有满足条件的块；两次计算只提供猜想线索。若自行换成别的形状，需重新列式，不能直接套这里的结论。
⑤ 章末探究：和固定，积怎样变？
自选一个固定的和 \(S\)，再多次分配成两数 \(a,b\)。记录两数与乘积，提出猜想，再用本节公式说明。可以试负数、零和两数相等的情形。
本表为方便核对，只收 −20 到 20 之间的整数或半整数（如 2.5、−1/2）；和与两数都在此范围。一般说明不受这些取样步长限制。改变和会开始新表；输入格式同上。
| 第一个数 | 第二个数 | 积 |
|---|
用平方差与平方非负，自查一般说明
设两数的和为 \(S\)，令 \(m=S/2\)。任何这样的两数都能写成 \(m+t,m-t\)（例如令 \(t=a-m\)，则 \(b=S-a=m-t\)）。按平方差公式：\((m+t)(m-t)=m^2-t^2\)。
任意数的平方 \(t^2\ge0\)，所以积不大于 \(m^2\)；当且仅当 \(t=0\)，也就是两数相等时，积等于 \(m^2\)；两数不相等时，\(t^2>0\)，积严格小于 \(m^2\)。这对正、负、零的和都成立，无需除以 \(S\)，也无需把 \(S\) 限成正数。
逐项自查：① 两个数的和确为 \(S\) 吗？② 说明了任何分配都能如此表示吗？③ 公式的减号对吗？④ 用了平方非负，且写了等号条件吗？表中有限样本只能启发猜想，不能代替一般说明。若另加“两数必须是整数”等限制，相等分配未必可选，例如和为奇整数时，应另行研究。
两项活动中填的数和文字只在本页保留，刷新会清空。保存文字后，还要对照准则自己检查修改。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 计算 \((5+x)(5-x)\)。
A。相同项 \(5\)，相反项 \(\pm x\)：\(5^2-x^2\)。B 把相同项和相反项弄反了；C、D 是平方或符号写错。
2. 用完全平方公式简便计算 \(49^2\)。
A。\((50-1)^2=2500-100+1=2401\)。B 是写成了 \(50^2-1^2\)；C 漏了中间项 \(-100\)；D 漏了最后的 \(+1\)。
易错
3. 计算 \((2x-3y)^2\)。
提示
\(a=2x\)，\(b=3y\)；中间项写成 \(2\cdot2x\cdot3y\)。
C。\((2x)^2-2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2\)。A 漏了中间项；B 中间项少乘了 \(2\)；D 没有整体平方。
4. 计算 \((-a-2b)^2\)。
提示
\((-a-2b)^2=[-(a+2b)]^2\)，一个数和它的相反数平方相等。
B。\((-a-2b)^2=(a+2b)^2=a^2+4ab+4b^2\)；也可看成 \(a\to-a\)、\(b\to-2b\)，中间项 \(2(-a)(-2b)=+4ab\)。A 中间项符号错；C 把平方当成了加负号；D 漏了中间项。
5. 计算 \((x-2y)(-x-2y)\)。
提示
先找相同的项：是 \(x\) 还是 \(-2y\)？
B。相同项是 \(-2y\)，相反项是 \(x\) 与 \(-x\)：\((-2y)^2-x^2=4y^2-x^2\)。A 把 \(x\) 当成了相同项；C、D 符号错。
挑战
6. 已知 \(a+b=6\)，\(ab=7\)，求 \(a^2+b^2\) 的值。
提示 1：哪个公式里同时有 \(a+b\)、\(ab\)、\(a^2+b^2\)？
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)。
提示 2：代入再移项
\(6^2=a^2+b^2+2\times7\)。
A。\(a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=36-14=22\)。B 是把 \((a+b)^2\) 当成了 \(a^2+b^2\)（翻车现场 ①）；C 只减了一个 \(ab\)；D 是 \(36+14\)，把符号弄反了。
本节中考真题
共 22 道，含 9 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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乘法公式是中考计算题的常客，常和单项式乘多项式一起出“化简求值”。做完看分步解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 基本不等式完全平方公式 $(a-b)^2\ge0$ 展开移项并令 $a=\sqrt x,b=\sqrt y$，正是高中基本不等式 $\sqrt{xy}\le\dfrac{x+y}{2}$ 的代数证明源头。
一试延伸（入门 F1–F2）
学有余力可以试试竞赛入门。下面的一试专题（限定 F1–F2 入门梯度）可以直接从本节出发：
- 一试 · 不等式的证明（F1–F2）利用完全平方公式作差配成平方和（如 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=\frac12[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]\ge0$），是不等式证明专题最核心的入门方法。