培玉 · 初中数学← 返回主页七年级下册 · 第八章 实数
8.3 实数及其简单运算
\(\sqrt{2}\)、\(\pi\) 这些“写不完”的数，算哪一类数？它们在数轴上有没有位置？还能不能照样比大小、加减乘除？
本节导读 先修：1.2 有理数、8.1 平方根、8.2 立方根 · 本节路线
要用到：有理数的分类、数轴、相反数、绝对值、比大小（回看 1.2）；有理数的运算法则和运算律（回看 2.1）；\(\sqrt{2}\) 是无限不循环小数（回看 8.1）；立方根（回看 8.2）。
- 从分数化小数进入：除得尽，或者循环。
- 无理数：无限不循环小数；判断时看结果，不看外形。
- 实数的两种分类，不重不漏。
- 实数与数轴上的点一一对应：画出 \(\sqrt{2}\)，滚出 \(\pi\)；相反数、绝对值、比大小照搬有理数。
- 实数的简单运算和近似计算。
- 练习与中考真题。
把分数化成小数，就是一直做除法。点下面三个分数，看商的每一位和每一步的余数：
用竖式计算 \(2\div 7\)，如果一直除下去，商的小数部分会怎样？
B。\(2\div 7=0.285714\,285714\cdots\)。除以 \(7\) 时，每一步的余数只能是 \(1\) 到 \(6\)（余 \(0\) 就除尽了），最多除 \(6\) 步，余数一定会重复，从那里起商就开始循环。所以分数化成小数，要么除得尽，要么循环。
可是 \(\sqrt{2}=1.41421356\cdots\) 既除不尽也不循环（8.1 夹逼过）。它不是分数，是一类新的数。这一节就来给它起名字、找位置、学运算。
1. 先认识几个词：无理数与实数
前置知识：整数和分数统称有理数（回看 1.2）；\(\sqrt{2}\) 是无限不循环小数（回看 8.1）。面积为 \(2\) 的正方形边长是 \(\sqrt{2}\)，它不能用有理数表示，我们需要认识无理数。点一点，看小数的几种样子：
直觉微图解 ①有限、无限循环、无限不循环
定义：任何有理数都能写成有限小数或无限循环小数（整数看成小数点后是 \(0\) 的小数）；反过来，有限小数和无限循环小数也都是有理数。无限不循环小数叫作无理数，例如 \(\sqrt{2}\)、\(-\sqrt{5}\)、\(\sqrt[3]{3}\)、\(\pi\)。有理数和无理数统称实数。从这一节起，没有特别说明时，说到“数”都指实数。
核心概念 ②无理数写不成“整数 ÷ 整数”
有理数都能写成两个整数之比（分数），无理数不能。所以无理数的小数一位位写下去，永远写不完、也不会循环，只能用 \(\sqrt{2}\)、\(\pi\) 这样的记号或近似值表示。
核心概念 ③看“结果”，不看“外形”
\(\sqrt{16}=4\)、\(\sqrt[3]{-8}=-2\) 带根号，却是有理数。\(\tfrac{\pi}{2}\) 像分数，却是无理数：如果它能写成两个整数之比，那么 \(\pi=2\times\tfrac{\pi}{2}\) 也能写成两个整数之比，和“\(\pi\) 是无理数”矛盾。\(3.14\) 是有限小数，是有理数，只是 \(\pi\) 的近似值。
2. 核心点：实数怎样分类
也可以按正负分：正实数、\(0\)、负实数。无理数也有正有负，如 \(\sqrt{3}\) 和 \(-\sqrt{3}\)。不管按哪种分，每个数都要分到、而且只分到一类。点一点，看同一批数的两种分法：
直觉微图解 ②同一批数，两种分法
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。
例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）
把下列各数分成有理数和无理数：\(\sqrt{0.04}\)，\(-\tfrac{\pi}{5}\)，\(\sqrt{12}\)，\(0.373737\cdots\)（“37”重复），\(1.732\)，\(\sqrt[3]{-64}\)，\(0.5050050005\cdots\)（相邻两个 5 之间依次多一个 0）。
① 读懂题意：七个数，每个都要分进且只分进一类。哪些带根号的能先算出来？
提示 1：先把能算的算出来
\(\sqrt{0.04}=0.2\)，\(\sqrt[3]{-64}=-4\)。\(12\) 不是平方数。
看完整示范
④ 回头看：\(1.732\) 只是 \(\sqrt{3}\) 的近似值，本身是有限小数；\(0.5050050005\cdots\) 虽然有规律，但两个 5 之间的 0 越来越多，不会从某一位起由固定的一段数字依次不断重复，不是循环小数。
自己试试：下面哪个数是无理数？
D。\(\pi\) 是无理数，\(-\tfrac{\pi}{8}\) 也是无理数。A：\(\sqrt{121}=11\)；B：两个整数之比，是有理数（它很接近 \(\pi\)，但只是近似值）；C：有限小数。
再试一个：下面哪个数是有理数？
A。它是无限循环小数，所以是有理数（它等于 \(\tfrac{5}{11}\)）。B、C 开不尽，是无理数；D 有规律但没有固定的循环节，是无理数。
3. 核心点：每个实数在数轴上都有一个点
有理数都能在数轴上表示。无理数呢？点下面三档，看 \(\sqrt{2}\)、\(-\sqrt{2}\) 和 \(\pi\) 怎样落到数轴上：
直觉微图解 ③画弧得到 \(\pm\sqrt{2}\)，滚圆得到 \(\pi\)
有理数的点之间还有“空隙”，由无理数填满：实数与数轴上的点一一对应。
于是有理数的这些说法，在实数里照样成立：数轴上右边的点表示的数总比左边的大；\(a\) 的相反数是 \(-a\)；正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，\(0\) 的绝对值是 \(0\)；一个数的绝对值就是它对应的点到原点的距离。
例 2（示范）
(1) 求 \(\sqrt{7}-3\) 的相反数和绝对值；(2) 比较 \(-\sqrt{7}\) 和 \(-2.6\) 的大小。
提示 1：去绝对值前先定正负
\(\sqrt{7}\) 比 \(3\) 大还是小？比较 \(7\) 和 \(3^2=9\)。
提示 2：比较两个负数
先比 \(\sqrt{7}\) 和 \(2.6\)：比较 \(7\) 和 \(2.6^2\)。
看完整示范
回头看：没有计算器时，比较 \(\sqrt{a}\) 和一个正数 \(m\)，就比较 \(a\) 和 \(m^2\)；做法和有理数完全一样，只是多了这一步估算。
自己试试：比较 \(\sqrt{11}\) 和 \(3.3\) 的大小。
A。\(3.3^2=10.89<11\)，被开方数越大算术平方根越大，所以 \(\sqrt{11}>3.3\)（\(\sqrt{11}=3.316\cdots\)）。
4. 核心点：运算，有理数的规则照样用
实数可以加、减、乘、除（除数不为 \(0\)）、乘方；正数和 \(0\) 可以开平方，任何实数都能开立方。有理数的运算法则和运算律在实数里同样适用。这一章只做简单的：同一个根式前面的数相加减、用交换律和结合律抵消、求近似值。
根号下的数不能直接相加。例如 \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\)，而 \(\sqrt{25}=5\)，所以 \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\ne\sqrt{9+16}\)。不同的根式不能直接合并成一个根式；\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) 不用再化简，它本身就是一个确定的数，答案就这样写。根式更多的运算，八年级学二次根式时再学。
\(5\sqrt{3}\) 就是 \(5\times\sqrt{3}\)。不同的根式不能这样合并。
例 3（示范）
计算 \(4\sqrt{3}-1-2\sqrt{3}\)，再求它的近似值（精确到 \(0.01\)）。
提示：先准确算，再取近似
哪两项是同一个根式？近似时 \(\sqrt{3}\) 取几位小数？
看完整示范
回头看：为什么要多取一位？“动手”③ 里有一个例子：只取两位，乘了以后误差变大，结果就错了。
5. 用之前必查：三大翻车现场
想挑战就点开：有最小的正数吗？
你能说出最小的正数吗？
想好后看解答
没有最小的正数。无论你说出哪个正数，它的一半仍是正数，而且更小。
① 用圆规在数轴上画出 \(\pm\sqrt{2}\)
圆规一脚固定在原点，另一脚从单位正方形的顶点出发。拖动笔尖（或点一下再用方向键，每次转 5°）画弧，看它落到数轴的哪里。先选方向：
② 让直径为 1 的圆滚一圈
圆上红点一开始贴着原点。拖动圆心（或用方向键，每次 0.05）让圆向右滚，看红点再次贴到数轴时落在哪里。
③ 进阶：近似值要多取一位
求 \(3\sqrt{5}+1\) 的近似值（精确到 \(0.01\)）。拖动下面的滑块（刻度 \(0\)～\(5\) 是 \(\sqrt{5}\) 取的小数位数，方向键每次 ±1）改变取几位小数，看算出的结果落在哪里；绿色区域里的数四舍五入后都是 \(7.71\)。
④ 输入原式，最后取近似
输入原式和所需精度，可以试 sqrt(2)+sqrt(3)，不要先把根式换成近似数。可用四则运算、括号、√/sqrt、∛/cbrt、π/pi 以及 ^2、^3。遇到网页不支持的合法写法，请自己或请老师核对。
⑤ 先做除法，再分类
⑥ 纸上作±√2，交出长度依据
请用纸、无刻度直尺和圆规实际操作。
- 画数轴，标原点和单位长，再用同一单位画四格组成的2×2单位方格。
- 连外框四边中点，圈中间正方形。剪去四角三角片，用外框减四角的面积求内方形面积，再以算术平方根解释边长，不用勾股定理。
- 取内方形一边为开口，以数轴原点画弧，标左右交点和数；保持开口回量两点到原点的距离。
记录只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。图和文字请自己或与同伴一起核对。
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 在 \(-\tfrac{7}{9}\)，\(\sqrt{49}\)，\(\sqrt[3]{9}\)，\(2.0202\)，\(\tfrac{\pi}{2}\)，\(0\) 这 6 个数中，无理数有几个？
B。无理数是 \(\sqrt[3]{9}\) 和 \(\tfrac{\pi}{2}\)。\(-\tfrac79\) 是分数；\(\sqrt{49}=7\)；\(2.0202\) 是有限小数（后面没有省略号）；\(0\) 是整数。
2. \(\lvert\sqrt{5}-2\rvert\) 等于多少？
B。\(2^2=4<5\)，所以 \(\sqrt{5}>2\)，\(\sqrt{5}-2>0\)，正数的绝对值是它本身。A 是负数，绝对值不可能是负的；C、D 把绝对值当成了“把负号都去掉”。
易错
3. 下面说法正确的是哪一个？
提示
每一项都找一个反例试试：有没有循环的无限小数？有没有能开尽的根号？
C。它无限，而且没有固定的循环节。A：无限循环小数是有理数；B：\(\sqrt{4}=2\) 是有理数；D：两个整数之比，是有理数。
4. 小林写了 \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=\sqrt{25}\)。对不对？
提示
三个根号都能开尽，把两边分别算出来。
B。\(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\)，\(\sqrt{25}=5\)。根号下的数不能直接相加；这一章只能合并同一个根式，如 \(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)。C 的 \(\sqrt{144}=12\) 也不对。
5. 下面说法正确的是哪一个？
提示
说出一个正数，它的一半是不是更小的正数？
B。任何正数的一半仍是正数而且更小，所以没有最小的正实数。C：\(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\) 也是正无理数，而且比 \(\sqrt{2}\) 小（若它是有理数，乘 \(2\) 得到的 \(\sqrt{2}\) 也是有理数，矛盾）；D：\(\lvert 0\rvert=0\)，\(0\) 就是绝对值最小的实数。
挑战
6. \(\sqrt{10}\)，\(\pi\)，\(3.15\)，\(\sqrt[3]{31}\) 中，最大的是哪一个？
提示 1：找一个“标尺”
都和 \(3.15\) 比：比较 \(10\) 和 \(3.15^2\)，\(31\) 和 \(3.15^3\)。
提示 2
\(3.15^2=9.9225\)，\(3.15^3=31.255875\)；\(\pi=3.14159\cdots\)。
A。\(3.15^2=9.9225<10\)，所以 \(\sqrt{10}>3.15\)；\(3.15^3=31.255875>31\)，所以 \(\sqrt[3]{31}<3.15\)；\(\pi<3.15\)。只有 \(\sqrt{10}\) 比 \(3.15\) 大，它最大（\(\sqrt{10}=3.162\cdots\)）。
本节中考真题
共 28 道，含 15 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
本节精选
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“下列各数中，无理数是”“最小的数是”几乎是各地中考第 1 题的常客。选择题点选项自动判对错，做完看解析。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 复数的概念初中完成从有理数到实数的扩充并认识到实数平方非负（$x^2=-1$ 在实数集无解），为高中引入虚数单位 $\mathrm i$ 扩充到复数集提供了认知动机。