八年级下册 · 第十九章二次根式

19.2 二次根式的乘法与除法

两个带根号的数相乘，结果还一定带根号吗？这一节从算例里找出乘、除的法则，再反过来用它们化简，把结果写成最简二次根式。

本节导读　先修：19.1 二次根式及其性质 · 本节路线

要用到：\((\sqrt a)^2=a\)、\(\sqrt{a^2}=a\)（\(a\ge0\)）（回看 19.1）；积的乘方（回看 16.1）；分式的基本性质与约分（回看 18.1）；小学的分解质因数。

从长方形面积进入：两个二次根式相乘。
由算例归纳乘法法则 \(\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}\)，注意条件。
法则反过来用：把开得尽的平方因数移到根号外。
类比得到除法法则，被开方数是分数时也能化简。
最简二次根式；去掉分母中的根号。
练习与中考真题，回看“哪一步最容易错”。

一块长方形瓷砖，长和宽都带根号。面积是长乘宽，可这两个数都算不成整齐的小数。先点下面几组，看看“带根号的数相乘”会出现什么：

长方形瓷砖长 \(\sqrt8\) dm、宽 \(\sqrt2\) dm，面积是多少？

A。\(\sqrt8\approx2.828\)，\(\sqrt2\approx1.414\)，相乘约 \(4.00\)；而 \(8\times2=16\)，\(\sqrt{16}=4\)。选 B 是把被开方数加了起来（\(8+2=10\)）；选 C 是连根号也丢了，直接把 \(8\) 和 \(2\) 相加；选 D 是把被开方数乘了，却忘了开方。

看起来，两个二次根式相乘，可以把被开方数乘起来再开方。这一节要回答：这个规律什么时候成立？反过来能做什么？除法呢？

1. 先认识几个词：乘法法则

前置知识：\(\sqrt a\) 是平方等于 \(a\) 的非负数，\(a\ge0\)（回看 19.1）。多算几组，比一比“先开方再相乘”和“先相乘再开方”：

直觉微图解 ①两条长度一样：\(\sqrt a\times\sqrt b\) 与 \(\sqrt{ab}\)

二次根式的乘法法则（由很多算例归纳出来，课本不作一般证明）：

\(\sqrt{\color{#2F7A56}{a}}\cdot\sqrt{\color{#966524}{b}}=\sqrt{\color{#2F7A56}{a}\color{#966524}{b}}\qquad(\color{#B5452F}{a\ge0,\ b\ge0})\)

核心概念 ②正着用：乘起来合成一个根号

\(\sqrt5\times\sqrt7=\sqrt{35}\)。带系数时，系数乘系数、被开方数乘被开方数：\(2\sqrt3\times4\sqrt5=8\sqrt{15}\)。

核心概念 ③反着用：拆开，把能开的开出来

\(\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b\)（\(a\ge0,b\ge0\)），叫积的算术平方根。\(\sqrt{9\times5}=\sqrt9\times\sqrt5=3\sqrt5\)。条件不能丢：\(\sqrt{(-4)\times(-9)}=6\)，但 \(\sqrt{-4}\) 没有意义，不能拆。

试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。卡住时按需展开提示。

例 1（示范：跟老师走一遍思考过程）

计算：(1) \(\sqrt5\times\sqrt{20}\)；(2) \(3\sqrt2\times2\sqrt8\)。

① 读懂题意：都是二次根式相乘。(2) 多了系数，系数和根号各管各的吗？

提示 1：系数怎么办

\(3\sqrt2\times2\sqrt8=3\times2\times\sqrt2\times\sqrt8\)：乘法交换律、结合律让系数和根式可以分开相乘。

看完整示范

② 想办法：用乘法法则把被开方数乘起来，结果若是完全平方数，就能开出来。

③ 执行：(1) \(\sqrt5\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10\)。(2) \(3\sqrt2\times2\sqrt8=(3\times2)\sqrt{2\times8}=6\sqrt{16}=6\times4=24\)。

执行中检查：近似值：(1) \(2.236\times4.472\approx10.0\) ✓；(2) \(4.243\times5.657\approx24.0\) ✓。

④ 回头看：两个无理数相乘，结果可以是整数。这也说明二次根式的乘积要“算到底”：\(6\sqrt{16}\) 还要开出来。

自己试试：\(\sqrt3\times\sqrt{27}\) 等于多少？

A。\(\sqrt3\times\sqrt{27}=\sqrt{81}=9\)。选 B 是把被开方数加了起来；选 C 是乘完忘了开方。

2. 核心点：化简——把开得尽的平方因数移到根号外

把被开方数拆成“平方数 × 剩下的数”，平方数那一块开方后移到根号外。拆的时候要找最大的平方因数，一次拆干净。

\(\sqrt{\color{#2F7A56}{k^2}\times \color{#966524}{m}}=\color{#2F7A56}{\underbrace{\sqrt{k^2}}_{=k\ (k\ge0)}}\times\sqrt{\color{#966524}{m}}=\color{#2F7A56}{k}\sqrt{\color{#966524}{m}}\)

直觉微图解 ②把被开方数排成几个一样大的正方形

例 2（示范）

化简：(1) \(\sqrt{75}\)；(2) \(\sqrt{12}\times\sqrt{15}\)。

提示：(2) 先别急着乘

\(12\times15=180\)，再分解也行；但先写成 \(\sqrt{12\times15}=\sqrt{2^2\times3\times3\times5}\)，平方因数一眼就看出来。

看完整示范

执行：(1) \(\sqrt{75}=\sqrt{5^2\times3}=5\sqrt3\)。(2) \(\sqrt{12}\times\sqrt{15}=\sqrt{2^2\times3^2\times5}=2\times3\times\sqrt5=6\sqrt5\)。

检查：把系数移回根号里验证：\(5\sqrt3=\sqrt{25\times3}=\sqrt{75}\) ✓；\(6\sqrt5=\sqrt{36\times5}=\sqrt{180}\) ✓。系数移进根号要平方。

回头看：找不到最大平方因数时，先分解质因数，成对的质因数各开出一个。

自己试试：把 \(\sqrt{48}\) 化简，结果是？

A。\(48=16\times3=4^2\times3\)，\(\sqrt{48}=4\sqrt3\)。B 是 \(16\) 没开方就搬了出去；C 是把开方当成了“除以 2”。

3. 核心点：除法——被开方数相除

算一算：\(\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt4}=\dfrac62=3\)，\(\sqrt{\dfrac{36}{4}}=\sqrt9=3\)；\(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt2}\) 和 \(\sqrt9\) 用近似值算也都是 \(3\)。类比乘法：

\(\dfrac{\sqrt{\color{#2F7A56}{a}}}{\sqrt{\color{#966524}{b}}}=\sqrt{\dfrac{\color{#2F7A56}{a}}{\color{#966524}{b}}}\qquad(\color{#B5452F}{a\ge0,\ \underbrace{b>0}_{\text{分母不为 0}}})\)

反过来 \(\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\)，叫商的算术平方根：\(\sqrt{\dfrac{11}{49}}=\dfrac{\sqrt{11}}{7}\)。

例 3（示范）

计算：(1) \(\dfrac{\sqrt{216}}{\sqrt8}\)；(2) \(\sqrt{\dfrac{5}{64}}\)。

看完整示范

执行：(1) \(\dfrac{\sqrt{216}}{\sqrt8}=\sqrt{\dfrac{216}{8}}=\sqrt{27}=3\sqrt3\)。(2) \(\sqrt{\dfrac{5}{64}}=\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{64}}=\dfrac{\sqrt5}{8}\)。

检查：(1) \(14.697\div2.828\approx5.20\)，\(3\sqrt3\approx5.20\) ✓。(1) 得到 \(\sqrt{27}\) 还没完，要继续化简。

4. 核心点：最简二次根式，分母里不留根号

运算结果要化到最简。最简二次根式同时满足两条：被开方数不含分母（小数也算有分母）；被开方数里没有开得尽的平方因数。另外，结果的分母里不能有根号。用下面的“检查器”点一点：

直觉微图解 ③三项检查：都打 ✓ 才算化到底

去掉分母中的根号，靠的是 \((\sqrt b)^2=b\)：分子、分母同乘分母里的那个根式，分式的值不变（回看 18.1）。

\(\dfrac{a}{\sqrt{\color{#966524}{b}}}=\dfrac{a\cdot\color{#966524}{\sqrt b}}{\underbrace{\sqrt b\cdot\color{#966524}{\sqrt b}}_{=b}}=\dfrac{a\sqrt b}{b}\qquad(b>0)\)

例 4（示范）

化简：(1) \(\dfrac{5}{\sqrt{10}}\)；(2) \(\sqrt{\dfrac23}\)。

提示：两条路

(1) 分子分母同乘 \(\sqrt{10}\)。(2) 可以先拆成 \(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}\) 再同乘 \(\sqrt3\)；也可以把被开方数的分母凑成平方数：\(\dfrac23=\dfrac{6}{9}\)。

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执行：(1) \(\dfrac{5}{\sqrt{10}}=\dfrac{5\sqrt{10}}{10}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。(2) 解法一：\(\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt2\times\sqrt3}{3}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)；解法二：\(\sqrt{\dfrac{6}{9}}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)。

检查：(1) \(5\div3.162\approx1.581\)，\(3.162\div2\approx1.581\) ✓。最后一步的约分别忘：\(\dfrac{5\sqrt{10}}{10}\) 约成 \(\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)。

回头看：分母是 \(\sqrt{27}\)、\(\sqrt{50}\) 这类时，先化简分母（\(\sqrt{50}=5\sqrt2\)），例如分母是 \(\sqrt{50}\) 时，只需再乘 \(\sqrt2\)，数更小。

自己试试：把 \(\sqrt{\dfrac58}\) 化成最简形式。

A。\(\sqrt{\dfrac58}=\dfrac{\sqrt5}{2\sqrt2}=\dfrac{\sqrt5\times\sqrt2}{2\times2}=\dfrac{\sqrt{10}}{4}\)。B 是分母 \(8\) 没开方就拿了出来；C 是同乘 \(\sqrt8\) 得 \(\dfrac{\sqrt{40}}{8}\) 后，把 \(\sqrt{40}\) 化成 \(2\sqrt{10}\) 时丢了系数 \(2\)；D 是把分母 \(2\sqrt2\times\sqrt2\) 算成了 \(2\)。

5. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）化简不彻底

❌ 典型错解：\(\sqrt{80}=2\sqrt{20}\)；\(\sqrt{0.5}\) 不处理；\(\sqrt{\tfrac{9}{5}}=\tfrac{3}{\sqrt5}\)。

✅ 看图秒懂：\(80\) 能排成五个 \(4\times4\) 的正方形，最大平方因数是 \(16\)：\(\sqrt{80}=4\sqrt5\)。\(\sqrt{0.5}=\sqrt{\tfrac12}=\tfrac{\sqrt2}{2}\)，\(\tfrac{3}{\sqrt5}=\tfrac{3\sqrt5}{5}\)。

翻车现场 ②去分母根号时只乘了分母

❌ 典型错解：\(\dfrac{\sqrt5}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt5}{3}\)。

✅ 一眼看清：分母乘了 \(\sqrt3\)，分子也要乘，值才不变：\(\dfrac{\sqrt5\times\sqrt3}{\sqrt3\times\sqrt3}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)。

翻车现场 ③不看条件就拆根号

❌ 典型错解：\(\sqrt{(-4)\times(-9)}=\sqrt{-4}\times\sqrt{-9}\)。

✅ 一眼看清：法则要求 \(a\ge0\)，\(b\ge0\)。应该先算 \((-4)\times(-9)=36\)，\(\sqrt{36}=6\)。除法还要求分母 \(b>0\)。

再深一点（可跳过）：字母的符号会影响化简吗？

当u>0、v>0时，化简 \(\sqrt{18u^2v^3}\)。如果改取u=−1、v=2，还能直接写成 \(3uv\sqrt{2v}\) 吗？

想好后看解释

正数条件下，\(\sqrt{18u^2v^3}=3uv\sqrt{2v}\)。u=−1、v=2时原式为12，直接代入上述结果却为−12，故不能忽略符号条件；v>0时应写为 \(3|u|v\sqrt{2v}\)。字母不一定是正数。

再深一点（可跳过）：先比较两数

\(4\sqrt7\) 与 \(5\sqrt5\)，谁大？系数移入根号时应怎样处理？

想好后看解释

顺带一个用法：比较 \(4\sqrt7\) 和 \(5\sqrt5\)，把系数移进根号（系数非负时要平方）：\(\sqrt{112}<\sqrt{125}\)，所以 \(4\sqrt7<5\sqrt5\)。

① 乘法：长方形的面积

拖动两个滑块（或点一下圆点用方向键）改变长 \(\sqrt a\) 和宽 \(\sqrt b\)（\(a,b\) 取 \(1\) 到 \(20\)）。

② 化简：找最大的平方因数

拖动滑块改变 \(n\)（\(1\) 到 \(100\)）。上面一排是平方数 \(4,9,\dots,100\)：能整除 \(n\) 的变色，最大的一个加粗。

③ 进阶：去掉分母中的根号

拖动滑块改变 \(\dfrac{p}{\sqrt q}\) 中的 \(p\)（\(1\) 到 \(12\)）和 \(q\)（\(2\) 到 \(20\)），一步步看它怎样化成最简形式。

④ 自主探究：除法能怎样类比乘法？

乘法的例子启发了法则。现在自选两个被开方数 \(a,b\)，分别计算“先开方再相除”与“先相除再开方”，比较结果，自己提出除法的猜想和适用条件。特别试试零放在不同位置会怎样。

本表可填绝对值不超过100、约分后分母不超过100的有理数。请用整数、小数（最多4位）或分数，每个整数最多8位，分母写正整数。数字中间不要留空格，分数线两侧可以留空格。可用全角数字和负号“−”，不要填指数、单位或算式。

本轮记录（每个结果均为精确值）：

这次活动中填的数和文字只在本页保留，刷新会清空。说明一般规律时，不受表中数值上限的限制。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 计算 \(\sqrt{10}\times\sqrt{15}\)，结果化成最简形式。

A。\(\sqrt{10}\times\sqrt{15}=\sqrt{150}=\sqrt{5^2\times6}=5\sqrt6\)。B 是把被开方数加了起来，\(\sqrt{25}=5\)；C 是 \(25\) 没开方就移了出去；D 是忘了开方。

2. 计算 \(\sqrt{54}\div\sqrt6\)。

A。\(\sqrt{54}\div\sqrt6=\sqrt{54\div6}=\sqrt9=3\)。B 是忘了开方；C 是把除法做成了减法；D 是只化简了 \(\sqrt{54}\)，没有除。

易错

3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是哪一个？

提示

逐个查两条：被开方数有没有分母（小数也算）？有没有开得尽的平方因数？

C。\(15=3\times5\)，没有平方因数，也没有分母。A 的被开方数有分母，化成 \(\tfrac{\sqrt2}{2}\)；B 是小数，\(\sqrt{0.3}=\sqrt{\tfrac{3}{10}}=\tfrac{\sqrt{30}}{10}\)；D 含平方因数 \(4\)，\(\sqrt{20}=2\sqrt5\)。

4. 把 \(\dfrac{\sqrt3}{\sqrt7}\) 化成分母不含根号的形式。

提示

分子、分母同乘 \(\sqrt7\)。分子变成什么？

B。\(\dfrac{\sqrt3\times\sqrt7}{\sqrt7\times\sqrt7}=\dfrac{\sqrt{21}}{7}\)。A 是只乘了分母（翻车现场 ②）；C 是把 \(\sqrt7\times\sqrt7\) 算成了 \(49\)；D 是把分母丢了。

5. 计算 \(3\sqrt5\times2\sqrt{10}\)，结果化成最简形式。

提示

系数乘系数：\(3\times2\)；被开方数乘被开方数：\(5\times10=50\)。\(\sqrt{50}\) 还能化简吗？开出来的数要和前面的系数相乘。

A。\(3\sqrt5\times2\sqrt{10}=6\sqrt{50}=6\times5\sqrt2=30\sqrt2\)。B 是开出来的 \(5\) 没有乘到系数上；C 是把系数加了起来；D 是把 \(\sqrt{50}\) 当成了 \(50\)。

挑战

6. 一个长方形的面积是 \(6\sqrt{10}\ \text{cm}^2\)，宽是 \(\sqrt{15}\ \text{cm}\)，长是多少？

提示 1：列式

长 \(=\) 面积 \(\div\) 宽 \(=\dfrac{6\sqrt{10}}{\sqrt{15}}\)，先把两个根号合成一个。

提示 2：化简

\(\dfrac{10}{15}=\dfrac23\)，再用例 4 的方法化简 \(\sqrt{\dfrac23}\)。

A。\(\dfrac{6\sqrt{10}}{\sqrt{15}}=6\sqrt{\dfrac23}=6\times\dfrac{\sqrt6}{3}=2\sqrt6\)（cm）。检验：\(2\sqrt6\times\sqrt{15}=2\sqrt{90}=6\sqrt{10}\) ✓。B 是 \(\dfrac{\sqrt6}{3}\) 的分母 \(3\) 漏了；C 是系数 \(6\) 漏乘了，只算出 \(\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}\)；D 是把 \(\sqrt{\dfrac23}\) 当成了 \(1\)。

本节中考真题

共 6 道，含 3 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

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本节精选

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化简 \(\sqrt{12}\)、两个根式相乘，是中考填空题的常客；化简求值的最后一步也常要去掉分母里的根号。

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