八年级上册 · 第十三章三角形

13.3 三角形的内角与外角

小学量过、剪拼过，知道三角形三个内角加起来是 180°。这一节不量，用平行线把它证明出来，再推出直角三角形和外角的两个结论。

本节导读　先修：7.2 平行线、7.3 命题与证明 · 本节路线

要用到：平角、余角、补角（回看 6.3）；邻补角、对顶角（回看 7.1）；平行线的性质（回看 7.2）；命题、定理与证明（回看 7.3）；三角形的内角、高和角平分线（13.1、13.2）。

从测量进入：量出来的 179°、181° 说明什么。
从剪拼找思路，用平行线证明内角和定理。
推论：直角三角形两锐角互余；有两角互余的三角形是直角三角形。
外角的定义；外角等于不相邻的两个内角的和。
求角：写清在哪个三角形里、用了哪条结论。
动手拖一拖，练习与中考真题。

小林用量角器量了三个形状不同的三角形，每个三角形的三个内角都量到整度数。点按钮看他量的结果：

小林说：“量了三个，都差不多是 180°，所以任何三角形的内角和都是 180°，这就算证明了。”他说得对吗？

B。读数四舍五入到整度，三个误差凑在一起，和就可能是 179° 或 181°，这不是内角和真的变了（C 错）。就算量得很准，三角形有无数个，也量不完（A 错）。

要让结论对每一个三角形都成立，只能从已经承认的事实出发，一步步推出来。这一节就用平行线的性质来证明它。

1. 先认识几个词：内角和定理，从剪拼找证明的思路

前置知识：平行线的性质（回看 7.2），定理和证明（回看 7.3）。小学把三个角撕下来拼成了一个平角。拼好的样子提示我们：过 $A$ 有一条和 $BC$ 平行的直线。点一点：

直觉微图解 ①把 $\angle B$、$\angle C$“搬”到顶点 $A$

$\underbrace{\color{#3E5C76}{\angle A}+\color{#2F7A56}{\angle B}+\color{#966524}{\angle C}}_{\text{三角形的三个内角}}=\underbrace{180^\circ}_{\text{一个平角}}$

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 180°。下面的证明只用平行线的性质和平角的定义，不靠测量。

例 1（示范：跟老师写一遍证明）

已知：$\triangle ABC$。求证：$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$。

先认角：绿色的 $\angle1$ 与 $\angle B$ 由截线 $AB$ 截出，金色的 $\angle2$ 与 $\angle C$ 由 $AC$ 截出。虚线 $l\parallel BC$，三个角在 $A$ 处组成平角。

① 读懂题意：要证三个角的和是 $180^\circ$。哪种角正好是 $180^\circ$？

提示：让三个角挨在一起

平角是 $180^\circ$。过 $A$ 作直线 $l\parallel BC$（图中画成虚线），$A$ 处左右各多出一个角，记作 $\angle1$、$\angle2$。它们和 $\angle B$、$\angle C$ 有什么关系？

基础示范（可收起）

② 想办法：用“两直线平行，内错角相等”把 $\angle B$、$\angle C$ 换成 $A$ 处的 $\angle1$、$\angle2$，三个角就组成平角。

③ 执行：

证明：过点 $A$ 作直线 $l\parallel BC$。
∵ $l\parallel BC$，
∴ $\angle1=\angle B$，$\angle2=\angle C$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $\angle1$、$\angle BAC$、$\angle2$ 组成平角，
∴ $\angle1+\angle BAC+\angle2=180^\circ$（平角的定义）。
∴ $\angle B+\angle BAC+\angle C=180^\circ$（等量代换）。

执行中检查：每一步都写了依据。不能写“把 $\angle B$ 拼到 $A$ 处”：剪拼只是找思路，证明里靠的是 $l\parallel BC$。

④ 回头看：这条直线 $l$ 是为了把三个角凑到一起才画的。换个顶点、换个方向也能画，见下面的微图解 ②。

直觉微图解 ②另一种画法：三个角凑到顶点 $C$

自己试试：例 1 的证明中，由“$l\parallel BC$”得到“$\angle1=\angle B$”，依据是什么？

A。$\angle1$ 和 $\angle B$ 被截线 $AB$ 截出，在两条平行线之间、截线两侧，是内错角。它们不是同位角，也不是对顶角（两角没有公共顶点）；D 是测量，不能当证明的依据。

2. 核心点：直角三角形的两个锐角

有一个角是直角的三角形 $ABC$ 记作 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$。由内角和定理马上得到两个结论（定理推出的结论也叫推论，和定理一样可以当依据）：

直角三角形的两个锐角互余。在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，则 $\angle A+\angle B=180^\circ-90^\circ=90^\circ$。
有两个角互余的三角形是直角三角形。若 $\angle A+\angle B=90^\circ$，则 $\angle C=180^\circ-90^\circ=90^\circ$。

例 2（示范：角有比例关系，就设未知数）

$\triangle ABC$ 的三个内角之比 $\angle A:\angle B:\angle C=2:3:7$。求三个内角，并说出它按角分是什么三角形。

① 读懂题意：只知道比，不知道度数；再加一条“和是 $180^\circ$”。

提示：设一份是 $x^\circ$

三个角分别是 $2x^\circ$、$3x^\circ$、$7x^\circ$，用内角和定理列方程。

基础示范（可收起）

② 想办法：设 $\angle A=2x^\circ$，$\angle B=3x^\circ$，$\angle C=7x^\circ$。

③ 执行：由三角形的内角和定理，$2x+3x+7x=180$，$12x=180$，$x=15$。所以 $\angle A=30^\circ$，$\angle B=45^\circ$，$\angle C=105^\circ$。

执行中检查：$30+45+105=180$ ✓；比 $30:45:105=2:3:7$ ✓。

④ 回头看：$\angle C=105^\circ$ 是钝角，所以是钝角三角形。按角分类要看最大的角，前两个是锐角不能说明什么。

自己试试：在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=38^\circ$，$\angle B=52^\circ$。它是什么三角形？

C。$\angle A+\angle B=90^\circ$，有两个角互余，所以是直角三角形（$\angle C=90^\circ$）。看到 $38^\circ$、$52^\circ$ 都是锐角就选 A，是没算第三个角。

最多一个。假如有两个钝角，这两个角加起来已经超过 $180^\circ$，再加上第三个角，内角和就大于 $180^\circ$，和内角和定理矛盾。同样，三角形最多有一个直角，至少有两个锐角。也因此，直角三角形直角顶点处的外角是直角，另两个外角都是钝角。

3. 核心点：三角形的外角

三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角。例如把 $BC$ 延长到 $D$，$\angle ACD$ 就是 $\triangle ABC$ 的一个外角。外角和与它相邻的内角是邻补角，和为 $180^\circ$。

直觉微图解 ③哪个才是外角

外角 $\angle ACD$ 和 $\angle ACB$ 凑成平角；$\angle A+\angle B$ 和 $\angle ACB$ 也凑成 $180^\circ$（内角和定理）。两个都等于“$180^\circ-\angle ACB$”，所以相等：

$\underbrace{\color{#B5452F}{\angle ACD}}_{\text{外角}}=\underbrace{\color{#3E5C76}{\angle A}+\color{#2F7A56}{\angle B}}_{\text{与它不相邻的两个内角}}$

推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。用之前先认清：这是哪个三角形的外角？不相邻的是哪两个内角？

例 3（示范：先认清是谁的外角）

在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=52^\circ$，$\angle B=67^\circ$，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上。求 $\angle ACD$。

① 读懂题意：$D$ 在 $BC$ 的延长线上，$\angle ACD$ 由边 $CA$ 和 $BC$ 的延长线组成。

提示：相邻的和不相邻的

和 $\angle ACD$ 相邻的内角是 $\angle ACB$；不相邻的是哪两个？

看完整示范

② 想办法：$\angle ACD$ 是 $\triangle ABC$ 的外角，不相邻的内角是 $\angle A$、$\angle B$。

③ 执行：$\angle ACD=\angle A+\angle B=52^\circ+67^\circ=119^\circ$（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）。

执行中检查：换条路：$\angle ACB=180^\circ-52^\circ-67^\circ=61^\circ$，$\angle ACD=180^\circ-61^\circ=119^\circ$ ✓。

④ 回头看：外角推论一步到位；两条路算出一样，说明没认错角。

自己试试：三角形的一个外角是 $140^\circ$，与它不相邻的一个内角是 $65^\circ$。与它不相邻的另一个内角是多少度？

A。外角 = 两个不相邻内角的和，另一个是 $140^\circ-65^\circ=75^\circ$。B 是 $180^\circ-140^\circ$，那是和外角相邻的内角；C 是 $180^\circ-65^\circ$；D 是把两个数加了起来。

直觉微图解 ④每个顶点取一个外角，三个加起来是多少

4. 用之前必查：三大翻车现场

翻车现场 ①（最高频！）外角去加相邻的内角

❌ 典型错解：右图 $\angle ACD=\angle ACB+\angle A=70^\circ+50^\circ=120^\circ$。

✅ 看图秒懂：$\angle ACB$ 就挨着 $\angle ACD$，两个凑成 $180^\circ$。要加的是离 $C$ 远的 $\angle A$、$\angle B$：$50^\circ+60^\circ=110^\circ$。

翻车现场 ②把量出来、拼出来当成证明

❌ 典型错解：“量了 10 个三角形都是 180°，证毕。”“把 $\angle B$ 拼到 $A$ 处，成平角，证毕。”

✅ 一眼看清：测量只能查有限个，还有误差；拼角只是找思路。证明要写出 $l\parallel BC$ 和“内错角相等”。

翻车现场 ③三个外角的和算成 $540^\circ$

❌ 典型错解：“每个外角和相邻内角凑成 $180^\circ$，三个外角的和是 $3\times180^\circ=540^\circ$。”

✅ 一眼看清：$540^\circ$ 是三个外角加上三个内角，再减去内角和：$540^\circ-180^\circ=360^\circ$（每个顶点取一个外角）。

① 内角和：添一条平行线

拖动顶点 $A$（或点一下 $A$ 再用方向键移动）。读数由坐标算出，取到整度。切到“过 A 画 l ∥ BC”，看 $\angle B$、$\angle C$ 怎样变成 $A$ 处的 $\angle1$、$\angle2$。

② 外角：等于不相邻的两个内角的和

$BC$ 延长到 $D$。拖动 $A$，比较外角 $\angle ACD$ 和 $\angle A+\angle B$。

③ 进阶：“箭头”里的角

$\triangle ABC$ 中 $\angle A=60^\circ$，$\angle ABC=70^\circ$，$\angle ACB=50^\circ$。拖动三角形里的点 $D$（或用方向键），比较 $\angle BDC$ 和 $\angle A+\angle ABD+\angle ACD$。虚线是为了说理添的：延长 $BD$ 交 $AC$ 于 $E$。

④ 自己写：已知、求证、证明

选择任务

已知：一般性、点的位置与平行关系

求证 / 求解：写角名与关系

证明：逐行写结论（依据）、所用三角形；数值后另写一般论证。

先写证明，再按准则自检。

⑤ 自己连线：把凸多边形分成三角形

仅限凸四至七边形。点两个不同且不相邻的顶点添内部对角线，重复选可撤线，禁止内部交叉。Tab选点、回车或空格操作。先把全部区域分成三角形，数分出的块，不数拼成的大三角形。

顶点数

我数到的三角形块数

写计数顺序；再另写任意凸多边形从一个顶点连线的分法、块数规律与理由。

先连线数块；有限图不能代替一般证明。

输入和过程只在本页保留，刷新或重置会清空。也可以按图中的点名在纸上重做一遍。

从易到难排好了。卡住时先展开提示。

直接用

1. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=64^\circ$，$\angle B=47^\circ$。$\angle C$ 是多少度？

A。$\angle C=180^\circ-64^\circ-47^\circ=69^\circ$（三角形的内角和定理）。B 是 $64^\circ+47^\circ$，只做了一半；C、D 是减法借位算错了。

2. 在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle C=90^\circ$，$\angle A=36^\circ$。$\angle B$ 是多少度？

A。直角三角形两锐角互余：$\angle B=90^\circ-36^\circ=54^\circ$。B 是 $180^\circ-36^\circ$，忘了直角已经占了 $90^\circ$；C 是 $90^\circ+36^\circ$；D 是以为两个锐角相等。

易错

3. 下面哪个角是 $\triangle PQR$ 的外角？

提示

外角的顶点是三角形的顶点，一边是三角形的边，另一边是另一条边的延长线。

A。$\angle RQS$ 的顶点是 $Q$，一边是边 $QR$，另一边 $QS$ 是边 $PQ$ 的延长线。B 的两边都是延长线，$\angle SQT$ 是 $\angle PQR$ 的对顶角，等于内角；C 的顶点不是三角形的顶点；D 是内角本身。

4. 三角形每个顶点处各取一个外角，这三个外角的度数之比为 $3:4:5$。这个三角形最大的内角是多少度？

提示

先求三个外角的和：每个外角 $=180^\circ-$ 相邻的内角，三个加起来是多少？最大的内角挨着哪个外角？

A。三个外角的和 $=3\times180^\circ-180^\circ=360^\circ$，所以外角是 $90^\circ$、$120^\circ$、$150^\circ$，对应的内角是 $90^\circ$、$60^\circ$、$30^\circ$，最大的是 $90^\circ$（挨着最小的外角）。B 是把最大的外角当成了内角；C 是把 $3:4:5$ 当成内角之比；D 是以为外角和是 $180^\circ$，外角 $45^\circ$、$60^\circ$、$75^\circ$，得内角 $135^\circ$，可这样三个内角加起来是 $360^\circ$，不对。

5. 在 $\triangle ABC$ 中，$\angle A=48^\circ$，$\angle ACB=70^\circ$，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上。$\angle ACD$ 是多少度？

提示

$\angle ACD$ 和哪个内角相邻？可以用邻补角，也可以先求 $\angle B$ 再用外角推论。

A。$\angle ACD=180^\circ-\angle ACB=110^\circ$；验算：$\angle B=180^\circ-48^\circ-70^\circ=62^\circ$，$\angle A+\angle B=48^\circ+62^\circ=110^\circ$ ✓。B 是把相邻的 $70^\circ$ 当成不相邻的加了进去（$48^\circ+70^\circ$）；C 是 $\angle B$；D 是以为外角等于相邻内角。

挑战

6. 在 $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 在 $BC$ 的延长线上。外角 $\angle ACD$ 是 $\angle ACB$ 的 $4$ 倍，又是 $\angle A$ 的 $2$ 倍。$\angle B$ 是多少度？

提示 1：先用“相邻”

$\angle ACD$ 和 $\angle ACB$ 是邻补角。设 $\angle ACB=x^\circ$，列方程。

提示 2：再用“不相邻”

求出 $\angle ACD$ 和 $\angle A$ 后，外角推论告诉你 $\angle B$ 怎么求。

B。设 $\angle ACB=x^\circ$，则 $\angle ACD=4x^\circ$，由邻补角 $x+4x=180$，$x=36$，$\angle ACD=144^\circ$。$\angle A=144^\circ\div2=72^\circ$。由外角推论 $\angle ACD=\angle A+\angle B$，$\angle B=144^\circ-72^\circ=72^\circ$。验算：$72^\circ+72^\circ+36^\circ=180^\circ$ ✓。A 是 $\angle ACB$；D 是外角本身；C 是 $180^\circ-72^\circ$，把 $\angle B$ 当成了 $\angle A$ 的邻补角。

本节中考真题

共 15 道，含 1 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。

开始做本节真题

本节精选

正在加载精选题…

求角是中考几何的基本功：说清在哪个三角形里，用的是内角和还是外角。填空题看完答案自己判。

本章测验

这一章学完了，用 12 道题整体检查一下。整套提交后看解析，答错的题进入错题本。

第 13 章三角形 · 章末测验 →

先修回顾 · 小学数学

学这一节之前，如果下面的小学基础还有点生疏，可以先回去温习：

小学 · 四下第5单元 · 三角形小学用撕拼与折纸验证三角形内角和为 $180^\circ$，初中则利用平行线内错角与同位角给出严格演绎证明，并推导出外角定理。

打开小学数学课程目录

不确定前面哪里没跟上？做一次摸底 →