培玉 · 初中数学← 返回主页八年级上册 · 第十四章 全等三角形
14.2 三角形全等的判定
要说明两个三角形全等，不必把六个条件（三边、三角）全量一遍。挑对三个就够；挑错了，三个也不行。这一节弄清楚哪些三个能用，并开始自己写完整的证明。
本节导读 先修：14.1、13.3、7.3 · 本节路线
要用到：全等的定义和性质（回看 14.1）；三角形内角和（回看 13.3）；命题、基本事实、证明（回看 7.3）；对顶角相等、平行线的性质（回看 7.2）。
- 从配玻璃进入：量几个数据才能保证一样。
- 一个、两个条件不够；三个条件分情况看。
- 三条基本事实：SAS、ASA、SSS；由 ASA 推出 AAS。
- 两个“不能”：SSA、AAA，用反例说话。
- 直角三角形的“斜边、直角边”（HL）。
- 写完整的全等证明：已知、求证、证明，每步注明依据。
一块三角形玻璃碎了，要去店里配一块一样的。店员说：“你量几个数据带来就行。”点按钮，看看量得少时会怎样：
最少要量几个数据（量得恰当），才能保证配出来的玻璃和原来的一样？
C。只量 1 个或 2 个，能画出形状、大小不同的好多三角形；量了 AB、∠A、AC 三个，三角形就定死了。不必六个全量。
但“量得恰当”很要紧：不是随便哪三个都行。这一节就回答：哪三个条件能判定两个三角形全等？哪些不能？
1. 先认识几个词：判定、夹角、夹边、对边
前置知识：全等的定义和性质（回看 14.1）。14.1 是“已知全等 → 边角相等”；这一节反过来，判定是“由几组边角相等 → 说明全等”。
三个条件里，边和角的位置决定能不能用。先认三个位置词：
直觉微图解 ①夹角、夹边、对边：在图上指出来
核心概念 ②三条基本事实，不证明
SAS、ASA、SSS 是基本事实（7.3 学过：公认为真、作为推理出发点的命题）。把一个三角形叠到另一个上，可以说明它们合理，但这种“叠一叠”只是让人信服，不是证明。
核心概念 ③AAS、HL 是推出来或另说的
AAS 由 ASA 加内角和推出，不是基本事实。HL 只管直角三角形，是判定直角三角形全等的方法，八下学了勾股定理还会再证明它。
2. 核心点：边角边（SAS）
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（“边角边”）。角必须夹在两边中间。
为什么角非得是夹角？下面同样是“两条边、一个角”，换个位置结果就不同：
直觉微图解 ②角夹在中间，C 只有一个位置；角在对面，C 可能有两个
试着用四步想问题：读懂题意 → 想办法 → 执行并检查 → 回头看。基础示范直接可见，卡住时也可按需展开提示。
例 1（示范：第一次写完整的全等证明）
如图，点 C 在线段 BD 上，\(AB\perp BD\)，\(ED\perp BD\)，\(AB=CD\)，\(BC=DE\)。求证 \(AC=CE\)。
① 读懂题意：AC、CE 分别在哪两个三角形里？已知条件里，哪些边、角属于这两个三角形？
提示 1：找三角形、数条件
AC 在 \(\triangle ABC\)，CE 在 \(\triangle CDE\)。已有 \(AB=CD\)、\(BC=DE\) 两组边；两组边夹的是 ∠B 和 ∠D。
提示 2：夹角从哪来
垂直的定义：\(AB\perp BD\) 说明 \(\angle B=90^\circ\)，同理 \(\angle D=90^\circ\)。
基础示范：跟着走一遍
∴ \(\angle B=\angle D=90^\circ\)（垂直的定义）．
在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle CDE\) 中，\(\left\{\begin{aligned}&AB=CD,\\&\angle B=\angle D,\\&BC=DE,\end{aligned}\right.\)
∴ \(\triangle ABC\cong\triangle CDE\)（SAS）．
∴ \(AC=CE\)（全等三角形的对应边相等）．
④ 回头看：证明分两段：先把“垂直”翻译成“角相等”，再列三个条件。全等式写对了顺序，最后一步才能直接读出 \(AC=CE\)。
自己试试：已知 \(AB=DE\)，\(\angle B=\angle E\)。要用 SAS 证 \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)，还要添加哪个条件？
B。∠B 是 BA、BC 的夹角，所以另一边要 BC 和 EF。A 中 ∠B 是 AC 的对角，成了“SSA”，不能判定；C 能判定但依据是 ASA；D 能判定但依据是 AAS，都不是 SAS。
3. 核心点：角边角（ASA）与角角边（AAS）
AAS 怎么来的：两个角分别相等，由内角和，第三个角也相等（\(\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B=\angle F\)），于是 BC 就成了 ∠B、∠C 的夹边，用 ASA。
直觉微图解 ③两个角都相等时，那条边在哪里？
例 2（示范：条件要先“加工”）
如图，点 A、F、C、D 在一条直线上，\(AB\parallel DE\)，\(\angle B=\angle E\)，\(AF=DC\)。求证 \(BC=EF\)。
提示 1：要证全等的是哪两个三角形
BC 在 \(\triangle ABC\)，EF 在 \(\triangle DEF\)。已知只有 \(\angle B=\angle E\) 直接能用。
提示 2：平行、线段和差各给出什么
\(AB\parallel DE\) → \(\angle A=\angle D\)（两直线平行，内错角相等）。\(AF=DC\)，两边都加上 FC → \(AC=DF\)。
基础示范：跟着走一遍
∵ \(AF=DC\)，∴ \(AF+FC=DC+FC\)，即 \(AC=DF\)．
在 \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\left\{\begin{aligned}&\angle A=\angle D,\\&\angle B=\angle E,\\&AC=DF,\end{aligned}\right.\)
∴ \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)（AAS）．∴ \(BC=EF\)．
自己试试：已知 \(\angle A=\angle D\)，\(\angle B=\angle E\)。再添加哪个条件，不能判定 \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)？
D。三个角相等只管形状，不管大小（看微图解 ④）。A 是 ASA；B、C 是 AAS（BC 对着 ∠A，AC 对着 ∠B）。
4. 核心点：边边边（SSS）；三个角不行
三边分别相等的两个三角形全等（“边边边”）。三根木条钉成的架子不会变形（三角形的稳定性），说的就是这件事。
三条边能定住三角形，三个角却不能：
直觉微图解 ④三个角都一样，大小可以不同
例 3（示范：公共边）
如图，\(AB=CD\)，\(AD=CB\)。求证 \(\angle A=\angle C\)。
提示：连接哪条线？
∠A 在 \(\triangle ABD\) 里，∠C 在 \(\triangle CDB\) 里，两个三角形共用 BD。
基础示范：跟着走一遍
∴ \(\triangle ABD\cong\triangle CDB\)（SSS）．∴ \(\angle A=\angle C\)（全等三角形的对应角相等）．
回头看：对应顶点 A↔C、B↔D、D↔B：AB 对 CD，AD 对 CB。公共边可以直接当条件，写成 \(BD=DB\) 并注明。
用全等来作图：作一个角等于已知角（依据 SSS）
只用圆规和直尺，没有量角器，怎样复制一个 ∠AOB？思路：把角放进一个三角形，再作一个和它三边分别相等的三角形。
- 以 O 为圆心、任意长为半径画弧，交 OA、OB 于 C、D。
- 画射线 O′A′；以 O′ 为圆心、同样长为半径画弧，交 O′A′ 于 C′。
- 以 C′ 为圆心、CD 长为半径画弧，交前一条弧于 D′；过 D′ 画射线 O′B′。
\(O'C'=OC\)，\(O'D'=OD\)，\(C'D'=CD\)，由 SSS 得两个三角形全等，所以 \(\angle A'O'B'=\angle AOB\)。照这个办法作出相等的同位角，还能过直线外一点作平行线。作图要留下弧线痕迹，不要求写作法。
5. 核心点：直角三角形的“斜边、直角边”（HL）
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。一般三角形“两边一对角”不行，直角三角形却行：直角就是斜边的对角。只对直角三角形用，要先写出直角。
例 4（示范：HL 的写法）
如图，\(\angle B=\angle D=90^\circ\)，\(AB=AD\)。求证 \(BC=DC\)。
提示：斜边是谁
连接 AC。在两个直角三角形里，AC 对着直角，是公共的斜边；AB、AD 是直角边。
基础示范：跟着走一遍
在 \(\text{Rt}\triangle ABC\) 和 \(\text{Rt}\triangle ADC\) 中，\(\left\{\begin{aligned}&AC=AC,\\&AB=AD,\end{aligned}\right.\)
∴ \(\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle ADC\)（HL）．∴ \(BC=DC\)．
回头看：HL 的大括号里只列两条（斜边、直角边），直角写在前面。直角三角形也能用 SAS、ASA、AAS：直角已经相等，再有一直角边一锐角、斜边一锐角或两条直角边就行。
自己试试：\(\angle C=\angle F=90^\circ\)。下面哪组条件，判定 \(\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle DEF\) 的依据是 HL？
A。AB、DE 对着直角，是斜边；AC、DF 是直角边。B 两条都是直角边，能判定，但依据是 SAS（直角是夹角）；C 能判定，依据是 AAS。
6. 小结：哪些“三个条件”能用
| ✅ SAS、ASA、SSS | 基本事实 |
| ✅ AAS | 由 ASA 和内角和推出 |
| ✅ HL | 只用于直角三角形 |
| ❌ SSA（两边一对角） | 不一定全等，有反例 |
| ❌ AAA（三个角） | 只定形状，不定大小 |
写证明的顺序：先把已知“加工”成边角相等（每步括号注依据：中点的定义、垂直的定义、对顶角相等、等式的性质……），再写“在 △… 和 △… 中”+ 大括号三个条件 + “∴ … ≌ …（判定名）”，最后用性质得出结论。
7. 用之前必查：三大翻车现场
① 两边一对角：拖出反例
A、B 固定。拖射线端点改变 ∠B；拖右边的圆点改变 AC 的长（以 A 为圆心画弧）。弧和射线有两个交点时，就得到两个三角形：AB 公共、∠B 公共、\(AC=AD\)，看它们全不全等。
② 进阶：直角边、斜边确定后，A 只有一个位置
∠C 是直角。拖 B 改变直角边 BC；拖左边弧上的圆点改变斜边的长（以 B 为圆心画弧）。看弧和射线 CA 交在哪里。
③ 自己作图、猜想和写证
请在纸上动手做。尺规作图用直尺和圆规，保留作弧痕迹；画反例可以用量角器。先写再对照，不用勾股定理、等腰三角形、中垂线或轴对称的性质代替证明。记录只在本页保留，刷新会清空，不计入学习记录。
本次提交记录
从易到难排好了。卡住时先展开提示。
直接用
1. 线段 AB、CD 相交于点 O，\(OA=OB\)，\(OC=OD\)。判定 \(\triangle AOC\cong\triangle BOD\) 的依据是什么？
B。\(\angle AOC=\angle BOD\)（对顶角相等），它正好夹在 OA、OC 和 OB、OD 中间：边、角、边。不知道 AC 和 BD，所以不是 SSS。
2. \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(\angle A=\angle D=50^\circ\)，\(\angle B=\angle E=60^\circ\)，\(BC=EF=4\)。两个三角形全等吗？依据是什么？
B。BC 是 ∠A 的对边，EF 是 ∠D 的对边，是同一组对应角的对边：AAS。A 错在 BC 不是 ∠A、∠B 的夹边；C、D 忘了 AAS 也能判定。
易错
3. \(\triangle ABC\) 和 \(\triangle DEF\) 中，\(AB=DE=5\)，\(AC=DF=4\)，\(\angle B=\angle E=40^\circ\)。这两个三角形怎样？
提示
40° 的角夹在哪两条边之间？是不是 AB、AC 的夹角？
C。∠B 夹在 BA、BC 之间，是 AC 的对角：两边一对角，可能画出两个不同的三角形（“动手”① 拖到 AC = 4、∠B = 40° 附近能看到两个）。A 把对角当成了夹角；B 并不知道第三边；D 也不对，它们可能全等，只是不一定。
4. 下面哪一段推理是对的？
提示
逐条看：用的判定名和列出的条件对得上吗？HL 前有没有直角？
B。先有直角，AB、DE 对着直角是斜边，BC、EF 是直角边。A 没有直角，不能用 HL；C 是 AAA；D 中 AB、BC 的夹角是 ∠B，不是 ∠A，这其实是 SSA。
5. 已知 \(\angle A=\angle D\)，\(\angle B=\angle E\)。要用 AAS 证 \(\triangle ABC\cong\triangle DEF\)，可以添加哪个条件？
提示
AAS 的边：一条是 ∠A 或 ∠B 的对边，另一条必须是对应的那个角（∠D 或 ∠E）的对边。
B。AC 对着 ∠B，DF 对着 ∠E，同一组对应角：AAS。A 能判定，但 AB 是夹边，依据是 ASA；C、D 的两条边对着的不是同一组对应角（翻车现场 ②）。
挑战
与例1同一构型：\(B\)、\(C\)、\(D\) 依次共线，\(A\)、\(E\) 在 \(BD\) 的同一侧；相同记号表示边长相等。
6. 在例 1 的图中（点 C 在 BD 上，\(AB\perp BD\)，\(ED\perp BD\)，\(AB=CD\)，\(BC=DE\)），∠ACE 是多少度？
提示 1：先用例 1 的结论
\(\triangle ABC\cong\triangle CDE\)，所以 \(\angle A=\angle DCE\)。
提示 2：在 \(\triangle ABC\) 里看
\(\angle B=90^\circ\)，所以 \(\angle A+\angle ACB=90^\circ\)。B、C、D 在一条直线上，三个角 ∠ACB、∠ACE、∠DCE 拼成平角。
B。\(\angle ACB+\angle DCE=\angle ACB+\angle A=90^\circ\)，所以 \(\angle ACE=180^\circ-90^\circ=90^\circ\)，即 \(AC\perp CE\)。选 D 是以为 AB、BC 的长度不知道就算不出；其实不管多长，都是 \(90^\circ\)。
本节中考真题
共 34 道，含 33 道解答题；先做本节精选，也可查看全部真题。先自己做，提交后看答案和分步解析。
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全等证明是中考解答题的常客。先自己写完整的证明，再看解析里的书写。
往后学 · 高中数学
把这一节学透，到了高中就能直接迁移到下面的课程：
- 高中 · 三角恒等变换高中利用单位圆旋转构造全等三角形（$\mathrm{SAS}$ 全等得对应弦长相等），结合两点间距离公式直接证出两角差的余弦公式 $\cos(\alpha-\beta)$。