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2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 第 3 题

P011103 · 参数方程与极坐标

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设点 $P(x,y)$ 是椭圆 $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ 上满足 $x\ge 2\sqrt{3}$ 且 $y\ge 0$ 的弧段上的动点。记 $f(x,y)=3x+4\sqrt{3}y$ 在该弧段上的最大值为 $M$，最小值为 $m$，则 $M^2+m^2=\underline{}$。

2026 年培玉原创改编高中数学竞赛 第 4 题

P011104 · 参数方程与极坐标

在极坐标系（极点为 $O$，极轴为 $Ox$，与平面直角坐标系 $xOy$ 的原点及 $x$ 轴正半轴重合）中，已知曲线 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$，曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =4\sin \theta$。

（1）求曲线 $C_1$ 与 $C_2$ 的直角坐标方程，求出 $C_1$ 与 $C_2$ 的全部公共点的直角坐标，并说明为什么仅联立同角方程 $4\cos \theta =4\sin \theta$ 会漏掉极点 $O$；

（2）过极点 $O$ 作两条夹角为 $\frac{\pi }{3}$ 的射线 $\theta =\alpha$ 与 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{3}\left(\alpha \in \left(0,\frac{\pi }{6}\right)\right)$，其中射线 $\theta =\alpha$ 与 $C_1$ 交于异于 $O$ 的点 $A$，射线 $\theta =\alpha +\frac{\pi }{3}$ 与 $C_2$ 交于异于 $O$ 的点 $B$。求 $△OAB$ 面积的最大值及此时 $\alpha$ 的值。