并排比较

2011 年湖南预赛 第 6 题

P010847 · 等比数列与等差数列

已知数列 $a_n$ 满足递推关系式 $a_{n+1}=2a_n+2^n-1$（$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$），且 $\left\{\frac{a_n+\lambda }{2^n}\right\}$ 为等差数列，则 $\lambda$ 的取值是 $\underline{}$。

2018 年中科大少年班初试 第 11 题

P009968 · 递推数列

设$a_1=1,a_{n+1}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^3(n+a_n)$。求证：

1. (1)

   $a_n=n^3\left(1+\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k^2}\right)$；

2. (2)

   $\prod _{k=1}^n\left(1+\frac{k}{a_k}\right)<3$。