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2017 年黑龙江预赛 第 21 题

P009350 · 抛物线

已知抛物线 $G$ 的顶点在原点，焦点在 $y$ 轴正半轴上，点 $P(m,4)$ 到其准线的距离等于 $5$。

1. (1)

   求抛物线 $G$ 的方程；

2. (2)

   如图，过抛物线 $G$ 的焦点的直线依次与抛物线 $G$ 及圆 $x^2+(y-1{)}^2=1$ 交于 $A,C,D,B$ 四点，试证明 $|AC|\cdot |BD|$ 为定值；

3. (3)

   过 $A,B$ 分别作抛物线 $G$ 的切线 $l_1,l_2$，且 $l_1,l_2$ 交于点 $M$，试求 $△ACM$ 与 $△BDM$ 面积之和的最小值。

2014 年辽宁预赛 第 16 题

P010803 · 抛物线

已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$，直线 $l$ 与抛物线 $C$ 相交于 $A,B$ 两点。连接 $A$ 与抛物线顶点 $O$ 的直线交准线于 $B^{\prime }$，连接 $B$ 与 $O$ 的直线交准线于 $A^{\prime }$，并且 $A{A}^{\prime }$ 与 $B{B}^{\prime }$ 都平行于 $x$ 轴。

(1) 证明：直线 $l$ 过定点；

(2) 求四边形 $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ 的面积的最小值。