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2017 年天津预赛 第 14 题

P010467 · 解析几何综合

设直线 ${\ell }_1:y=\sqrt{3}x,{\ell }_2:y=-\sqrt{3}x$。点 $A$ 和点 $B$ 分别在直线 ${\ell }_1,{\ell }_2$ 上运动，且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-2$。

(1) 求 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹；

(2) 设点 $P(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点为 $Q$，证明直线 $MQ$ 过定点。

2026 年山东预赛

P006166 · 双曲线

如图所示，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，设双曲线

两条不同直线 $l_1,l_2$ 分别与 $\Gamma$ 的左、右两支交于点 $A_1,B_1$ 与 $A_2,B_2$。点 $C_1,C_2$ 分别为线段 $A_1{B}_1,A_2{B}_2$ 的中点，分别过点 $C_1,C_2$ 作 $l_2,l_1$ 的平行线并相交于点 $D$。求证：

1. (1)

   直线 $l_1,l_2,O{C}_1,O{C}_2$ 的斜率之积为定值；

2. (2)

   点 $O,C_2,D,C_1$ 四点共圆。