并排比较

2025 年上海预赛

P006378 · 双曲线

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，双曲线

的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$。若直线 $l$ 是过 $\Gamma$ 右支上点 $P$ 的切线，且 $l$ 不与 $x$ 轴垂直。过点 $F_1,F_2$ 分别作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $T_1,T_2$。

（1）证明：点 $T_1,T_2$ 均在以 $O$ 为圆心、$a$ 为半径的圆上，并且 $O{T}_1\Vert F_{2}P$，$O{T}_2\Vert F_{1}P$；

（2）证明：$|F_1{T}_1|\cdot |F_2{T}_2|$ 是定值。

2018 年天津预赛 第 14 题

P010166 · 双曲线

如图，$F_1,F_2$ 是双曲线

的两个焦点。一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于 $A,B$，又设 $O$ 为坐标原点。求证：

1. (1)

   $|OA|\cdot |OB|=|O{F}_1{|}^2$；

2. (2)

   $F_1,F_2,A,B$ 四点在同一个圆上。