培玉 · 一试

专题地图 › 并排比较

并排比较

看起来很像，为什么方法不同？

2013 年中科大少年班初试第 7 题

P010042 · 导数的应用

已知函数 $f (x) = (1 - x) e^{x} - 1$ 。

(1)
求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) < 0$ ；
(2)
数列 ${x_{n}}$ 满足 $x_{n} e^{x_{n + 1}} = e^{x_{n}} - 1, x_{1} = 1$ ，求证：数列 ${x_{n}}$ 递减且 $x_{n} > 1/ 2^{n}$ 。

2014 年天津预赛第 15 题

P010970 · 数列综合

设函数

f (x) = 1 - e^{- x} .

(1)
证明：当 $x > 0$ 时， $f (x) > \frac{x}{x + 1}$ ；
(2)
数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{3}$ ，且
$a_{n} e^{- a_{n + 1}} = f (a_{n}),$
证明：数列 ${a_{n}}$ 递减且 $a_{n} < \frac{1}{2 ^{n}}$ 。