培玉 · 一试

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并排比较

这两道题哪里一样？想好再点

2013 年中科大少年班初试第 3 题

P010039 · 双曲线

点 $A$ 在直线 $y = k x$ 上，点 $B$ 在直线 $y = - k x$ 上，其中 $k > 0$ ， $∣ O A ∣ \cdot ∣ OB ∣ = k^{2} + 1$ ，且 $A, B$ 在 $y$ 轴同侧。

(1)
求线段 $A B$ 中点 $M$ 的轨迹 $C$ ；
(2)
曲线 $C$ 与抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 相切，求证：切点分别在两条定直线上，并求切线方程。

2010 年河南预赛（高二卷）第 14 题

P009935 · 解析几何综合

已知 $∠ A OB = θ$ （ $0 < θ < π /2$ ），动点 $P, Q$ 分别在射线 $O A, OB$ 上，使得 $△ POQ$ 的面积恒为 $36$ 。设 $△ POQ$ 的重心为 $G$ ，点 $M$ 在射线 $OG$ 上，且满足

∣ OM ∣ = \frac{3}{2} ∣ OG ∣.

(1)
求 $∣ OG ∣$ 的最小值；
(2)
求动点 $M$ 的轨迹方程。