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2023 年中科大少年班复试 第 5 题

P009746 · 向量的概念与运算

设$\{a_1,a_2,\dots ,a_n\}$是向量空间$U$的一组基，$\{b_1,b_2,\dots ,b_n\}$是向量空间$V$的$n$个向量。证明：存在唯一的线性映射$T:U\to V$，使得

2023 年中科大少年班复试 第 6 题

P009747 · 向量的概念与运算

在欧氏空间$G$上定义内积$x\cdot y=\sum x_i{y}_i$。设$H$是$G$的向量子空间。对每个$x\in G$，存在唯一的$x^{\ast }\in H$，使得对任意$v\in H$都有$(x-x^{\ast })\cdot v=0$。定义映射$P:G\to H$为$P(x)=x^{\ast }$。

1. (1)

   证明$P$是线性变换；

2. (2)

   证明$P$的特征值只能是0或1；

3. (3)

   说明特征值0、1的几何意义。