并排比较

2024 年甘肃预赛

P006469 · 椭圆

已知椭圆

$C,D$ 是椭圆上 $x$ 轴同侧的两个点，分别过 $C,D$ 作椭圆的两条切线交于点 $P$，且两切线分别与 $x$ 轴交于点 $B,A$。线段 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $E$。作 $EF\perp AB$ 于点 $F$，线段 $EF$ 的反向延长线分别与 $CD$ 交于点 $M$、与椭圆交于点 $N$。

1. (1)

   求证：$P,E,F$ 三点共线；

2. (2)

   求证：$P{M}^2=P{F}^2+M{F}^2-2N{F}^2$。

2013 年河南预赛 第 12 题

P009701 · 抛物线

已知抛物线 $C:x^2=2y$ 与直线 $l:y=kx-1$ 没有公共点。设点 $P$ 为直线 $l$ 上的动点，过 $P$ 作抛物线 $C$ 的两条切线，$A,B$ 为切点。

1. (1)

   证明：直线 $AB$ 恒过定点 $Q$；

2. (2)

   若点 $P$ 与点 $Q$ 的连线交抛物线 $C$ 于 $M,N$ 两点，证明：

   $$|PM||QN|=|PN||QM|.$$