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2008 年天津预赛 第 11 题

P009521 · 立体几何基础知识

已知长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 满足 $A{A}_1=2,AD=3,AB=251$。平面 $A_{1}BD$ 分别与 $C{C}_1,C_1{B}_1,C_1{D}_1$ 交于点 $L,M,N$，则四面体 $C_{1}LMN$ 的体积为。

2012 年河北预赛（高三卷） 第 11 题

P009579 · 立体几何综合

如图，设 $S-ABCD$ 是一个高为 $3$ 的四棱锥，底面 $ABCD$ 是边长为 $2$ 的正方形，顶点 $S$ 在底面上的射影是正方形 $ABCD$ 的中心。$K$ 是棱 $SC$ 的中点，过 $AK$ 作平面与线段 $SB,SD$ 分别交于 $M,N$（$M,N$ 可以是线段的端点）。

1. (1)

   求直线 $AK$ 与平面 $SBC$ 所成角的正弦值；

2. (2)

   求证：$\frac{V_{S-MKN}}{V_{S-BCD}}=\frac{SM\cdot SK\cdot SN}{SB\cdot SC\cdot SD}$，并求当 $M$ 是 $SB$ 中点时四棱锥 $S-AMKN$ 的体积。