2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 6 题

解答

由恒等变形，

其值域为 $[1/2,1]$，周期为 $T=5\pi /k$；最大值点恰为 $x=mT$，其中 $m\in \mathbb{Z}$。 若 $T\ge 1$，则开区间 $(0,1)$ 不含任何最大值点，题设不成立。因此必须 $T<1$。 反过来，若 $T<1$，对任意实数 $a$，可取正数 $\epsilon <(1-T)/2$，使闭区间

该闭区间长为一个周期，$f$ 在其上取遍 $[1/2,1]$，故原题要求成立。 所以条件等价于 $k>5\pi$。因 $15<5\pi <16$，正整数 $k$ 的最小值为 $\boxed{16}$。