并排比较

2024 年江苏预赛

P006540 · 椭圆

直线 $l$ 过椭圆 $\Gamma :\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的右焦点 $F$，交椭圆 $\Gamma$ 于 $A,B$ 两点。已知在 $x$ 轴上存在点 $P$，使得 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}$ 为定值，求点 $P$ 的坐标。

2022 年重庆预赛

P006781 · 双曲线

设 $F$ 是双曲线 $\Gamma :x^2-y^2=1$ 的左焦点，经过 $F$ 的直线与 $\Gamma$ 相交于 $M,N$ 两点。

（1）若 $M,N$ 都在双曲线的左支上，求 $△OMN$ 面积的最小值；

（2）$x$ 轴上是否存在一点 $P$，使得 $\overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}$ 为定值？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由。