培玉 · 一试

专题地图 › 数列的和

2024 年福建预赛

F3填空题数列的和

已知 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且

S_{n} = \frac{9}{8} a_{n} - \frac{3}{8} \cdot 3^{n} + \frac{3}{8} .

则使

i = 1 \sum n \frac{S _{i}}{a _{i}} < 2024

成立的最大正整数 $n$ 的值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

需先从S与a的关系作差求通项，再把Si/ai化简成可求和形式，最后比较1799与1800的严格边界。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：估计余项，确定整数部分、裂项相消

专题卡：前缀和不是通项：相邻相减后核首项、整数夹逼：保留余项，证明严格端点