2025 年内蒙古预赛

解答

由正弦定理，

故题设等价于

另一方面，余弦定理给出

与式（1）比较，因 $bc>0$，得到

第（1）问，由中线公式及已知条件，

所以

又由式（2）及余弦定理，

联立式（3）、（4），得

由 $b>0$，知 $b=2$。因此

第（2）问，由角平分线长度公式和式（2），

于是

令 $x=1/b$，$y=1/c$，则 $x,y>0$ 且 $x+y=\sqrt{3}$。由柯西不等式，

等号要求 $x=\sqrt{3}y$。它与 $x+y=\sqrt{3}$ 可以同时满足，所得 $b,c$ 均为正， 并能与夹角 $A=60^{\circ }$ 构成非退化三角形。因此